1.4.9. Решение задач 8,9 контрольной работы 1
Задача
8. Даны множества
и
N}.
Какова мощность множеств
?
Решение.
МножествоAконечно и задано перечислением своих
элементов, множествоBзадано характеристическим свойством.
Запишем несколько первых элементов
множества
.
Видим, что
и
,
т.е. множество
конечно.
Покажем,
что множество
счетно.
Зану-меруем его элементы:
Задана
биекция множества Nна множество
,
следовательно,
счетно
и
.
По
определению декартова произведения
.
Запишем элементы этого множества в виде
матрицы (рис. 1.27) и занумеруем их по
столбцам.
AB 3 7 11 15 … -2 (-2,3)1 (-2,7)4 (-2.11)7 (-2,15)10 … -1 (-1,3)2 (-1,7)5 (-1,11)8 (-1,15)11 … 0 (0,3)3 (0,7)6 (0,11)9 (0,15)12 …
Рис.
1.27. МножествоA
B
Замечаем, что если номер nделится на 3 без остатка, то первый элемент пары равен 0; если номерnделится на 3 с остатком 1, то первый элемент пары равен –2; если номерnделится на 3 с остатком 2, то первый элемент пары равен -1. Поэтому способ нумерации может быть задан следующим образом:
и
множество
счетно, т.е. имеет мощность0.
Задача
9. Равномощны ли множества
и
?
Решение.
Покажем, что множества равномощны по
теореме Кантора-Бернштейна, т.е. покажем,
что найдется
такое, что
,
и найдется
такое, что
.
Выберем
в качестве
множество
и установим биекцию
следующим образом:
Множества
иYравномощны.
Пусть
.
Установим биекцию
по закону
.
Множества
иXравномощны. По теореме Кантора-Бернштейна
.
1.4.10. Контрольные вопросы и упражнения
Является ли биекцией отображение
,
заданное на отрезке [-1;1]? А заданное
на [0;1]?Являются ли равномощными множества
и
?Являются ли равномощными множество
и
множество корней квадратного уравнения
?Сформулируйте теорему Кантора-Бернштейна.
Покажите, пользуясь теоремой Кантора-Бернштейна, что множества
и
равномощны.Даны множества
и
.
Чему равно
?Впишите ответ:
Если
,
,то
________
.
Пусть
.
ТогдаB(X)=______,B(X)={______________}.Сколько подмножеств имеет множество
?Какое множество называется счетным?
Покажите, что множество целых чисел Zсчетно.
Мощность счетного множества обозначается _____ .
Сформулируйте свойства счетных множеств.
Множество X– все натуральные числа, делящиеся на 3; множествоY– натуральные числа, делящиеся на 4. Какова мощность множества
?Используя обобщенное правило включения-исключения (см. 1.4.4) решите задачу 1 контрольной работы 1.