Определение 126. Если |
|
|
|
|
lim |
f(x) − f(x0) |
= + |
∞ |
( |
−∞ |
), |
x→x0−0 |
x − x0 |
|
|
то говорят, что в точке x0 существует бесконечная левая производная, которая обозначается также f−0 (x0).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 127. Если |
|
|
|
|
lim |
f(x) − f(x0) |
= + |
∞ |
( |
−∞ |
), |
x→x0+0 |
x − x0 |
|
|
то говорят, что в точке x0 существует бесконечная правая производная, которая обозначается также f+0 (x0).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Наличие бесконечной (левой, правой) производной функции f в точке x0 означает, что к графику функции f в точке (x0, f(x0)) можно провести вертикальную касательную (левую вертикальную касательную, правую вертикальную касательную), но функция f недифференцируемая в точке x0..
В дальнейшем, если не оговорено противное,
мы будем рассматривать только конечные производные.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.3.Необходимое условие существования
производной.
Пусть f : A → B, A, B R.
Теорема 72. Если f : A → B имеет производную в точке x A, то функция f непрерывна в этой точке.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Фиксируем произвольную предельную точку x0 A и придадим x0 при-
ращение |
x такое, что x0 + |
x A. |
|
f0(x0)! |
115 |
|
|
f(x0, |
x) |
|
28 |
|
|
lim |
|
|
= f |
0(x0) |
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x0, x) = f0(x0) + α(Δx), |
= |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α(Δx) |
|
0 при x |
|
0 |
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(Δf(x0, |
x) → 0 при |
x → 0) |
|
x→0 |
|
|
|
|
|
53 |
|
|
|
|
|
|
|
lim f(x0 + x) = f(x0) |
|
|
(f непрерывна в предельной точке x0)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
f непрерывна в предельной точке x0 A |
|
|
|
|
|
f0(x0) R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
lim |
f (x0, x) = 0 |
= |
|
lim |
|
f(x0, |
x) |
0 |
(x0) R |
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
→ |
0 |
|
x 0 |
|
|
= f |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Замечание. Из непрерывности функции в точке не следует существование производной функции в этой точке.
Функция f(x) = |x| непрерывна в точке x0 = 0, но не является дифференцируемой в этой точке (см. рис. 5.7).
y |
|
0 |
x |
Рис. 5.7 График функции f(x) = |x| |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.4. Основные правила дифференцирования.
Построение дифференциала заданной функции или, что равносильно, нахождение её производной называется операцией дифференцирования функции.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Замечание. При математической равносильности задачи построения дифференциала функции и задачи нахождения производной функции всё же дифференциал и производная не одно и то же, и поэтому, например, во французском математическом языке имеются два термина: derivation - нахождение производной и differentiation - нахождение дифференциала.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.4.1. Дифференцирование и арифметические операции.
Теорема 73. Если функции u : A → R, v : A → R дифференцируемы в точке x A∩A0, то их сумма дифференцируема в точке x, причём
(u(x) + v(x))0 = u0(x) + v0(x),
символическая запись |
(u + v)0 = u0 + v0. |
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
