Теорема 70. Функция f : A → R дифференцируема в точке x0 A, предельной для множества A, тогда и только тогда, когда функция f имеет производную в точке x0 A, причём
df(x0) = f0(x0) · x.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Фиксируем x0 A и x0 придадим приращение x так чтобы x0 + x A.
Необходимость.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
112 |
|
|
(fдифференцируема в точке x0) = |
|
|
f(x0 |
+ x) |
− |
f(x0) = a |
· |
|
x + o(Δx) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
при |
x |
|
0 = |
|
|
|
|
= a + |
|
|
|
|
|
f(x0+Δx) f(x0) |
|
|
|
o(Δx) |
|
|
→ |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
lim |
|
− |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= a |
|
f (x ) = a! = |
|
f(x0+Δx) f(x0) |
|
|
|
|
113 |
0 0 |
|
112 |
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x! |
|
|
|
|
|
|
|
|
df(x0) = f0(x0) · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Достаточность. |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x ) |
|
|
! = |
|
|
lim |
f(x0+Δx) |
f(x0) |
= f (x ) |
|
= |
|
|
0 |
|
|
R |
113 |
|
|
|
|
0 |
|
28 |
|
|
0 |
|
|
|
|
x |
|
0 |
|
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
= f (x ) + α(Δx), |
lim α(Δx) = 0 |
= |
f(x0+Δx) f(x0) |
|
|
0 |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
f(x0) = f0(x0) |
· |
|
|
· |
|
|
|
f(x0 + x) |
x + α(Δx) |
x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
112 |
|
|
|
|
|
|
|
|
α(Δx) → 0 при |
|
x → 0) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x! |
f дифференцируема в точке x0 и df(x0) = f0(x0) · |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 114. Функция f : A → R называется дифференцируемой на множестве
A, если она дифференцируема в каждой точке этого множества.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Если f(x) ≡ x, то f0(x) ≡ 1 и
dx = x,
т.е. дифференциал независимой переменной совпадает с её приращением.
Учитывая это равенство, получаем
df(x) = f0(x) · dx.
Эта форма записи дифференциала называется
инвариантной формой записи дифференциала. Запись дифференциала в виде
df(x) = f0(x) · x
не является инвариантной.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.2.Производная функции.
Пусть задана f : A → R, A R и x0 A предельная точка множества A. Дадим аргумен-
ту x приращение |
x так чтобы x0 + x A. |
Обозначим f(x0, |
x) := f(x0 + x) − f(x0) |
и будем называть приращением функции f в точке x0, вызванное приращением аргумен-
та x.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 115. Если существует конечный предел отношения приращения функции f в точке x0, вызванного приращением аргумента x, к приращению аргумента x при стремлении приращения аргумента к нулю, то он называется производной функции f в точке
x0 и обозначается f0(x0) или dfdx(x0). Итак, по определению 115,
f |
0(x |
) := |
lim |
|
f(x0, |
x) |
R |
. |
0 |
x |
|
|
|
0 |
|
x |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Как следует из определения 115, производная функции f в точке x есть число, зависящее от рассматриваемого значения x (но не зависящее от x). Вычисляя f0(x) в различных точках x A, мы будем получать, вообще говоря, различные числа. Таким образом, производная функции f есть тоже функция, определённая на B A (В некоторых точках x A производная может не существовать).
ПРОИЗВОДНАЯ 
Нажмите кнопку "tangent line". Выберите одну из функций
"polynomial", "trigonometric" или "logarithmic". Вы видите график выбранной функции.
Нажмите кнопку "first derivative". Появится график производной. Перемещайте красный маркер вдоль оси абсцисс.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Итак,
f0 : B → R, B A R.
Пусть g A предельная точка множества A. Обозначим через x := g + x A. Тогда, если существует конечный предел, то
f |
0(g) := lim |
f(x) − f(g) |
. |
(5.3) |
|
x→g |
x − g |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Соотношение (5.3), в силу теоремы 28, можно переписать в эквивалентной форме
f(x) − f(g) = f0(g) + α(x), x − g
где α(x) бесконечно малая при x → g, что в свою очередь равносильно соотношению
f(x) − f(g) = f0(g)(x − g) + o(x − g)
при x → g, x A, (5.4)
т.е. дифференцируемости функции f в точке g.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
