df(x) dx
Замечание 1. Обозначение производной принадлежит Лейбницу. Позднее Лагранж предложил обозначать производную символом f0(x). В механике, кроме указанных символов, для обозначения производной от функции ϕ(t) по времени t используется символ ϕ˙ (t).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 87. Показать, по определению 115, что, если f(x) = xα, α R, то
x dom f : (xα)0 = αxα−1.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. |
|
Фиксируем |
произвольную |
|
точку |
x0 dom f. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
115 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x0, |
x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f0(x0) := |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
0 |
|
|
|
= |
|
lim |
(x0 + x)α |
− |
x0 |
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
= lim |
|
|
x0 |
|
1 + |
x |
0 |
|
1 |
|
|
|
3.20.2.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= xα−1 |
|
lim |
0 |
1 + |
x0 |
|
|
|
|
|
|
= α |
· |
xα−1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x |
→ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 88. Показать, по определению 115, что, если f(x) = ax, a > 0, a 6= 1, то
x dom f = R : (ax)0 = ax ln a.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. Фиксируем произвольную точку x0 R. Тогда
115 |
|
|
f(x0, |
x) |
f0(x0) := |
lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
x |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
ax0+Δx − ax0 |
|
x→0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
a |
x0 |
x |
|
= |
lim |
|
a |
|
− 1 |
|
|
|
|
x |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
Частный случай
0
= =
0
= 0 = ax0 ln a.
0
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 89. Показать, по определению 115, что, если f(x) = loga x, a > 0, a 6= 1, то
x dom f = (0, +∞) : (loga x)0 = |
loga e |
1 |
|
|
|
= |
|
. |
x |
x ln a |
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. Фиксируем произвольную точку x0 (0, +∞). Тогда
0 115
f (x0) :=
= lim
x→0
lim |
|
f(x0, x) |
= |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
− |
|
|
0 |
|
loga |
(x0 |
+ x) |
loga x0 |
10.9 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
loga |
1 + |
xx |
|
0 |
3.20.2.2 |
|
|
|
0 |
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→ |
0 |
|
x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
loga e 10.10 |
|
|
|
loga 1 + |
x0 |
|
|
1 |
|
= lim |
|
|
|
|
= |
|
= |
|
. |
x |
|
|
|
|
|
x→0 |
· x0 |
|
|
x0 |
x0 ln a |
x0 |
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Частный случай
x (0, +∞) : (ln x)0 = x1.
ПРОИЗВОДНАЯ
Нажмите кнопки "tangent line" и "logarithmic". Вы видите график логарифмической функции.
Нажмите кнопку "first derivative". Появится график производной. Перемещайте красный маркер вдоль оси абсцисс.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 90. Показать, по определению 115, что, если f(x) = loga |x|, a > 0, a 6= 1, то
x R \ {0} : (loga |x|)0 = |
loga e |
1 |
|
|
= |
|
. |
x |
x ln a |
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. |
Фиксируем |
произвольную |
|
точку |
x0 R \ {0}. При | |
x| < |x0| имеем |
|
|
|
|
|
|
10.9 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x |
, |
x) = log |
a |
1 + |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
. (5.5) |
|
|
|
|
|
= loga |
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
