1.13. Характеристики импульсных систем, описываемых уравнениями в пространстве состояний

Если в первом уравнении (1.80), которое является неоднородным разностным уравнением считать матрицу нулевой, то получим однородное разностное уравнение

, (1.91)

в котором, полагая заданным начальное состояние вектора при, получим,, и т.д. Таким образом, общее решение уравнения (1.91) можно записать в виде

. (1.92)

Матрица носит название переходной матрицы состояния линейной импульсной системы. Вычислениепо известной матрицевсегда возможно. Наиболее просто найти, если матрицадиагональная. Если, то.

Если найдена , то в импульсной системе, описываемой уравнениями(1.80), можно вычислить выход при заданном входепо выражению

. (1.93)

В (1.93) первое слагаемое − свободная составляющая, а второе − вынужденная.

Применим к уравнениям (1.80) -преобразование, полагая, что начальные значения вектора состояниянулевые. Получим,, где,,− изображения соответствующих векторов ,,.

Из полученного уравнения найдем

, (1.94)

где − обратная матрица к матрице,− единичнаяматрица.

Матрица размерностиносит названиепередаточной матрицы (матрицы передаточных функций) импульсной системы. Ее элементы являются обычными скалярными функциями, связывающимивходсвыходом. Если,− скалярные величины, то− обычная скалярная передаточная функция.

Матрицу будем называтьвесовой матрицей. Очевидна связь

,.

Отметим один из способов определения переходной матрицы состояния с помощью-преобразования

.

Введем еще одну из важнейших характеристик импульсной системы, заданной уравнениями состояния (1.80), – характеристическое уравнение импульсной системы

, (1.95)

где означает определитель матрицы. Если матрицаразмерности, то (1.95) − это алгебраическое уравнение-ой степени.

Линейная импульсная система, описываемая уравнениями состояния (1.80), будет устойчива, если все корни уравнения (1.95) по модулю меньше единицы, т.е.,. Для выяснения этого факта можно, например, использовать алгебраический критерий устойчивости импульсных систем, изложенный в подразделе 1.7.

Для импульсных систем, описываемых уравнениями (1.80), можно ввести и другие понятия, аналогичные понятиям для непрерывных систем [1], такие как наблюдаемость и управляемость. Управляемость и наблюдаемость зависят от вида матриц ,,в (1.80). Определения и методы оценки управляемости и наблюдаемости идентичны [1] и здесь не приводятся.

Пример 1.13. Найдем передаточную функцию разомкнутой импульсной системы из примера 1.12, используя полученные уравнения состояния (1.90). В соответствии с (1.94) . Найдем матрицу. Очевидно,

.

С учетом матриц ииз (1.90) имеем

,

где ,,,.

Этот результат совпадает с результатом, полученным в примере 1.2.

1.14. Цифровые системы автоматического управления

Цифровой САУ можно назвать такую, в состав которой включено цифровое вычислительное устройство (ЦВУ) в виде отдельных схем на базе элементов цифровой логики, микропроцессоров, микроконтроллеров и в наиболее сложных случаях в виде специализированных управляющих вычислительных машин (комплексов).

При классификации САУ по виду математических моделей под цифровой САУ будем понимать такую, в которой хотя бы один из сигналов в контуре управления подвергается одновременной дискретизации (квантованию) по уровню и времени. С этой точки зрения цифровая САУ является подклассом дискретных систем.

На ЦВУ возлагаются следующие основные функции: формирование программы управления (для систем стабилизации, позиционирования и программного управления), реализация цифровых алгоритмов управления и реализация дискретной коррекции. Кроме этого ЦВУ можно применять и для выполнения других функций: контроля элементов и состояния всей системы в целом, некоторых сервисных функций (учет времени работы и т.п.).

Цифровая САУ содержит две части: ЦВУ и непрерывную часть, включающую объект управления, исполнительное устройство, усилительно-преобразовательные и корректирующие устройства, датчики и т.п. Будем считать непрерывную часть линейной, описываемой передаточной функцией . Тогда базовая структура рассматриваемой системы будет иметь следующий вид:

Рис. 1.10

На рис. 1.10 АЦП – аналого-цифровой преобразователь; ЦАП – цифро-аналоговый преобразователь; Т – период замыкания идеальных импульсных элементов (ключей); ,,,– сигналы, представленные в цифровой форме;,– непрерывные сигналы;– последовательность прямоугольных модулированных по амплитуде импульсов;– передаточная функция формирующего устройства;– математическая модель, отражающая алгоритм функционирования ЦВУ.

АЦП и ЦАП на рис. 1.10 выделены в самостоятельные функциональные блоки, хотя на практике они могут непосредственно являться узлами ЦВУ. Каждый из них представлен в виде идеального квантователя и нелинейной статической характеристики, характеризующий процесс. Период замыкания ключей везде одинаковый и равен (обычно задается ЦВУ). ЦВУ осуществляет операцию сравнения двух сигналов в цифровой формеи преобразование их по определенному алгоритму в соответствии с выражениемв цифровое значение, которое преобразуется в сигнал.

Рассмотрим особенности процессов квантования по времени и уровню в цифровой САУ. Пусть оба ключа АЦП замыкаются в момент времени и изменяют значенияи. Далее требуется определенное время на преобразование этих значений в цифровую форму,, определение разности, преобразованиеви, наконец, преобразованиев аналоговое (постоянное) значение. Обозначим это время через. Таким образом, постоянное значение на выходе ЦАП по отношению к моменту съема информации АЦП появляется с задержкой на время. Обычно формирующее устройство является фиксатором нулевого порядка, т.е. постоянное значение сигналадержится до момента следующего замыкания ключа. Очевидно, период замыканияне может быть меньше, т.е. всегда выполняются условие.

Итак, из рассмотренного следует, что ключ ЦАП замыкается с задержкой на время по отношению к моментамзамыкания ключей АЦП.

Время зависит от быстродействия АЦП, ЦАП и ЦВУ и длительности (сложности) отработки программы преобразованияв. Быстродействие современных вычислительных средств достаточно велико и непрерывно повышается, а алгоритмы обработки информации в ЦВУ обычно простые. В силу этого времядостаточно малое.

В процессе квантования по уровню весь диапазон изменения аналоговой величины, например, разбивается наравных частей (квантов), тогда величина

_{определяет разрешающую способность АЦП.}

Каждому кванту из интервалов присваивается определенное число (двоичный код). Для однозначности такого присвоения (кодирования) должно выполняться условие

_,

где – число двоичных разрядов без учета знакового разряда. В АЦП обычно число разрядов велико (от 8÷32 и более) и величинатакже большая, т.е. число ступеней нелинейной характеристики большое. Например, если, тои привеличина.

При условии нелинейную характеристику АЦП заменяют линейной с коэффициентом передачи, т.е..

ЦАП с числом разрядов имеет на выходе число уровней напряжения, равное

,

а величина . При большом числе ступенчатую характеристику заменяют на линейную с коэффициентом передачи .

Считая, что ЦВУ реализует линейный алгоритм, т.е. является линейной, исходную структуру можно преобразовать к виду, изображенному на рис. 1.11.

Рис. 1.11

На этом рисунке , где учитывают коэффициенты передачи АЦП и ЦАП, а множитель время запаздывания, необходимое на обработку информации в цифровых элементах.

Считаем малой величиной, тогда а при идентичных характеристиках АЦП и ЦАП. В дальнейшем можно полагать .