1.15. Исследование цифровых систем автоматического управления

В первом приближении без учета нелинейностей характеристик АЦП и ЦАП и считая запаздывание малым , структура цифровой системы сводится к структуре системы с АИМ-1, к которой возможно применение всех изложенных выше методов анализа и синтеза импульсных систем.

Более подробно остановимся на функциях ЦВУ, которыми являются реализация дискретных алгоритмов управления и дискретной коррекции. Будем рассматривать линейные модели, реализуемые ЦВУ в общем случае. Этими моделями являются линейные разностные уравнения

(1.96)

где переменные ,представлены в виде цифровых кодов.

Применяя к (1.96) Z-преобразование, получим

, (1.97)

где – передаточная функция ЦВУ.

Линейное разностное уравнение (1.96) представляет собой алгоритм работы ЦВУ и может быть записано в виде

(1.98)

Задавая , можно последовательно находить,, …, используя найденные на предыдущих этапах значенияи. При таком подходе ЦВУ осуществляет три операции: умножение чисел, сложение чисел и запоминание чисел. Алгоритм возможен (реализуем) только при условии. Если, то для вычисления текущего значенияследует знать ряд будущих значений входа, что физически невозможно. Итак, припередаточную функциюбудем называть физически реализуемой.

Рассмотрим несколько возможных алгоритмов управления и найдем для них передаточные функции.

1. Пропорциональный закон (по отклонению) .

В дискретном случае ,. Это наиболее простой алгоритм. При этом ЦВУ выступает в роли элемента сравнения (сумматора), осуществляя операцию вычитанияв цифровой форме.

2. Дифференциальный закон (по производной от отклонения) . Найдем дискретный аналог этого закона

.

Полагая , получим

. (1.99)

Применяя z-преобразование, найдем передаточную функцию

. (1.100)

3. Интегральный закон (по интегралу от отклонения) . В зависимости от способа вычисления интеграла рассмотрим два варианта дискретных аналогов:

– по методу Эйлера

,; (1.101)

– по методу трапеций

,. (1.102)

Комбинируя рассмотренные законы 1, 2, 3, можно получить пропорционально-интегральный закон , пропорционально-дифференциальный закони пропорционально-интегрально-дифференциальный.

Кроме реализации законов управления в дискретной форме ЦВУ используется также для реализации цифровой коррекции, т.е. синтеза передаточной функции , обеспечивающей цифровой системе заданные свойства.

Синтез цифровых САУ при их сведении к структуре рис. 1.11 может производиться тремя способами: при заданной введением непрерывной коррекции, т.е. изменением передаточной функции; при заданнойотыскание дискретной коррекции; применением обоих подходов. О проблемах, связанных с этими путями коррекции, говорилось при рассмотрении линейных импульсных систем.

Пример 1.14. Пусть в цифровой САУ . Требуется, чтобы в замкнутой системе ошибка по положению (статическая ошибка) была равна нулю, а скоростная прибыла меньше заданной величины. Передаточная функциядля данного случая приполучена в примерах 1.3 и 1.6 и имеет вид

,.

Исходная система является статической и ошибка по положению не равна нулю. Для выполнения заданных требований реализуем на ЦВУ интегратор с передаточной функцией

,

тогда передаточная функция разомкнутой системы будет

.

Для такой системы в соответствии с результатом подраздела 1.8 статическая ошибка равна нулю, а скоростная будет

.

Из условия , находим

. (1.103)

Если взять цифровой интеграл в виде , то получим тот же результат (1.103).

При выборе следует также учесть условия устойчивости для данной системы. Характеристическое уравнение замкнутой системы будет. Применяя критерий (1.55), нетрудно получить условие устойчивости

, (1.104)

Таким образом, величина выбирается исходя из заданной точности и обеспечения устойчивости из неравенства

. (1.105)

Соотношение (1.105) при известных ,,,,позволяет выбрать. Пусть,,,, тогда. Так как проектируемая система должна обладать запасами устойчивости в пределахдБ, что соответствует возможности увеличить коэффициент усиления враз без потерь устойчивости, то следует выбрать величинудля данного примера близкой к двадцати.

64