6____2004

Вариант № 19.

1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат, симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между

его директрисами равно 10 23 и эксцентриситет ε = 34 .

2.Составить уравнение гиперболы, зная ее фокусы F1(3; 4), F2(-3; -4) и расстояние между директрисами 3,6.

3.Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(7; 2) и директриса

x −5 = 0 .

4. Привести уравнение 2x2 −3y2 + 20x + 6 y + 22 = 0 к простейшему виду; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат.

5. Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат Ox, Oy, Oz: 8x2 − 4 y2 + 2z 2 − 48 = 0.

Вариант № 20.

1. Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет ε = 23 ,

фокус F(2; 1) и уравнение соответствующей директрисы x −5 = 0 .

2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что ее оси

2a =10 и 2b = 8 .

3. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что парабола расположена симметрично относительно оси Oy и проходит через точку А(1; 1).

4. Привести уравнение 7x2 −5y2 −14x − 20 y + 22 = 0 к простейшему виду

путем параллельного переноса осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно старых и новых осей координат.

5. Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат Ox, Oy, Oz: 4x2 −9 y2 +36z 2 −16x −54 y −72z −65 = 0.

211

Вариант № 3.

1. Определить вид кривой 2x2 −3xy − y2 +3x + 2 y = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.

2. Определить вид поверхности

5x 2 + 2 y 2 + 2z 2 − 2xy − 4 yz + 2zx − 4 y − 4z + 4 = 0

приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.

3. Привести уравнение 7x2 + 4xy + 4 y2 − 40x −32 y +5 = 0 к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат.

используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой 7x2 + 4xy + 4 y2 − 40x −32 y +5 = 0 методом инвариантов.

213

Вариант № 5.

1. Определить вид кривой 3x2 − 2xy +3y2 + 4x + 4 y − 4 = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.

2. Определить вид поверхности

4 x 2 + y 2 + 9 z 2 − 4 xy − 6 yz +12 zx + 8x − 4 y +12 z − 5 = 0

приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.

3. Привести уравнение x 2 − 2xy − 2 y 2 − 4x − 6 y + 3 = 0 к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат.

используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой 3x2 − 2xy + 4 = 0 методом инвариантов.

214

Вариант № 7.

1. Определить вид кривой 2x2 − 4xy +5y2 −8x + 6 = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.

2. Определить вид поверхности 3x2 + 2 y 2 + 4 yz − 2zx − 4x −8z −8 = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.

3. Привести уравнение 9x2 −12xy + 4 y2 −1 = 0 к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат.

используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой 2x2 −6xy +5y2 − 2x + 2 y −10 = 0 методом инвариантов.

215

Вариант № 9.

1. Определить вид кривой 9x2 −6xy + y2 + 2x −7 = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.

2. Определить вид поверхности x2 + 2 y 2 + 2z 2 + 2xy − 2x − 4 y − 4z = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.

3. Привести уравнение 3x2 − 2xy + 4 = 0 к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат.

4. Определить тип кривой 2x2 − 4xy +5y2 −8x + 6 = 0 методом инвариантов.

Вариант № 10.

1. Определить вид кривой 5x2 −3xy + y2 + 4 = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.

2. Определить вид поверхности y 2 + 3xy + 2 yz + zx + 3x + 2 y = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.

3. Привести уравнение x2 − xy − y2 − x − y = 0 к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат.

4. Определить тип кривой x2 + 6xy +9 y2 + 4x +12 y −5 = 0 методом инвариантов.

216

Вариант № 11.

1. Определить вид кривой x 2 − 2xy − 2 y 2 − 4x − 6 y + 3 = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.

2. Определить вид поверхности 9x2 − 4 y 2 −91z 2 − 40 yz +18zx −36 = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.

3. Привести уравнение 3x2 − 2xy +3y2 + 4x + 4 y − 4 = 0 к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат.

используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой 3x2 + 2xy +3y2 + 6x − 2 y −5 = 0 методом инвариантов.

217

преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат.

уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.

2. Определить вид поверхности x2 + 2 y 2 + 4z 2 − 2xy − 4 yz + 2x − 2 y − 4 = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.

3. Привести уравнение x2 + 6xy +9 y2 + 4x +12 y −5 = 0 к простейшему виду,

используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой x2 + 6xy + y2 + 6x + 2 y −1 = 0 методом инвариантов.

218

Вариант № 15.

1. Определить вид кривой 9x2 −12xy + 4 y2 −1 = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.

2. Определить вид поверхности x2 + 3y 2 +8z 2 + 2xy +8 yz − 4x +8z + 6 = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.

3. Привести уравнение 2x2 − 4xy +5y2 −8x + 6 = 0 к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой x2 − 2xy −3y2 − 4x −6 y +3 = 0 методом инвариантов.

Вариант № 16.

1. Определить вид кривой x2 − xy − y2 − x − y = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.

2. Определить вид поверхности 6x 2 − 2 y 2 + 6z 2 + 4zx +8x − 4 y −8z +1 = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.

3. Привести уравнение 5x2 −3xy + y2 + 4 = 0 к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат.

4. Определить тип кривой x2 + 2xy + y2 + 2x + 2 y − 4 = 0 методом инвариантов.

219

Вариант № 17.

1. Определить вид кривой 7x2 + 4xy + 4 y2 − 40x −32 y +5 = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.

2. Определить вид поверхности

x 2 − 2 y 2 + z 2 + 4 xy − 8zx − 4 yz −14 x − 4 y +14 z +16 = 0

приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.

3. Привести уравнение 2x2 −3xy − y2 +3x + 2 y = 0 к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат.

используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой x2 − 2xy + 2 y2 − 4x −6 y +3 = 0 методом инвариантов.

220