6____2004

Подставляя эти значения A, B, и C в уравнение плоскости, найдем:

A1 (x − x1 ) + B1 ( y − y1 ) +C1 (z − z1 ) =0.

Пример 5.

Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат параллельно плоскости:

x + y + z = 1.

Здесь x1 = y1 = z1 = 0 и A1 = B1 = C1 =1.

Следовательно, уравнение искомой плоскости: x + y + z = 0.

Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через две данные точки перпендикулярно данной плоскости.

Определяя из последних уравнений отношения двух коэффициентов A, B и C к третьему и подставляя их в уравнение плоскости, получим искомое уравнение.

Пример 6.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки (1, 1, 1) и (0, 1, -1) перпендикулярно плоскости:

x + y + z = 0.

Уравнение плоскости, проходящей через первую из данных точек, будет:

A(x – 1) + B(y – 1) + C(z – 1) = 0.

51

Условия прохождения этой плоскости через точку (0, 1, -1) и перпендикулярности к данной плоскости будут соответственно иметь вид:

A + 2C = 0 и A + B + C = 0.

Из первого условия: CA = −2 . Разделив на C, найдем:

CB = −CA −1 = 2 −1 =1.

Разделив уравнение плоскости на C и подставляя вместо CA и CB найденные значения,

получим:

-2(x – 1) + (y – 1) + (z – 1) = 0, или 2x – y – z = 0.

3.8. Нормальное уравнение плоскости

Положение плоскости в пространстве будет вполне определено, если зададим ее расстояние p от начала O , т. е. длину перпендикуляра OT ,

опущенного из точки O на плоскость, и единичный вектор no , перпендикулярный к плоскости и обращенный от начала O к плоскости (рис. 3.1).

Когда точка M , имеющая радиус-вектор r , движется по плоскости, то ее радиус-вектор меняется так, что все время связан некоторым условием.

Это условие имеет место лишь для точек плоскости; оно нарушается, если точка М лежит вне плоскости. Таким образом, равенство (3.10) выражает свойство, общее всем точкам плоскости и только им.

Имеем:

прno OM =(r, no ) .

И, значит, уравнение (3.10) может быть переписано в виде:

52

Уравнение (3.11) выражает собою условие, при котором точка M (r) лежит на данной плоскости, и называется нормальным уравнением этой плоскости.

Радиус-вектор r произвольной точки M плоскости называется текущим радиусом-вектором.

Уравнение плоскости (3.11) записано в векторной форме.

Переходя к уравнению в координатной форме, заметим, что проекциями единичного вектора no на оси координат OX , OY , OZ служат косинусы углов α, β, γ, составленных осями с этим вектором, а проекциями радиуса-

При переводе векторного уравнения (3.11) плоскости в координатное уравнение (3.12) мы воспользовались формулой, выражающей скалярное произведение через проекции векторов.

Уравнение (3.12) выражает собою условие, при котором точка M (x, y, z)

лежит на данной плоскости, и называется нормальным уравнением этой плоскости в координатной форме. Координаты x, y, z произвольной точки

M плоскости называются текущими координатами. Полученное уравнение (3.12) – уравнение первой степени относительно x, y, z , т.е. всякая

плоскость изображается уравнением первой степени относительно координат x, y, z .

Возьмем уравнение первой степени общего вида:

Покажем, что геометрическим местом тех точек пространства, координаты которых x, y, z удовлетворяют уравнению (3.13), является плоскость.

С этой целью будем рассматривать A, B и C как проекции на оси координат OX , OY , OZ некоторого постоянного вектора n , а x, y, z как проекции радиусов r точки M .

53

Тогда уравнение (3.13) может быть переписано в векторной форме следующим образом :

Таким образом, из уравнения (3.10) мы получаем: | n | прn r + D =0

или

npn r = −| nD| =const.

Итак, проекция радиуса-вектора переменной точки M на направление постоянного вектора n есть величина постоянная, а это значит, что точка M лежит в плоскости , перпендикулярной вектору n и проходящей от начала

на расстоянии, равном ||Dn || .

Следовательно, всякое уравнение (3.13) первой степени изображает плоскость как геометрическое место точек пространства, координаты которых связаны этим уравнением.

3.9. Приведение общего уравнения первой степени к нормальному виду

Проведение уравнения (3.13) или (3.14) к нормальному виду (3.11) или (3.10). Действительно, считая D отрицательным, разделим уравнение (3.14) на длину:

перепишем последнее уравнение в виде:

54

(r, no ) − p = 0 ,

что и будет служить нормальной формой (3.10) векторного уравнения плоскости.

Если же свободный член D положительный, то, чтобы привести уравнение плоскости к нормальному виду, очевидно, нужно его разделить на длину вектора n , взятую со знаком “−”, и мы найдем:

r(−no ) − |Dn | =0 ,

или нормальное уравнение плоскости:

r(−no ) − p = 0,

чтобы привести уравнение плоскости к нормальному виду, надо его разделить на длину вектора n ={A, B,C}, взяв ее со знаком “+” или ”−”,

смотря по тому, будет ли свободный член D отрицательным или положительным. Иными словами, для приведения общего уравнения (3.13) первой степени к нормальному виду нужно умножить его на множитель:

причем знак множителя следует взять противоположным знаку свободного члена D в уравнении (3.14).

Тогда исходное уравнение принимает вид:

µAx + µBy + µCz + µD =0

и совпадает с нормальным уравнением (3.9). Следовательно, имеем:

Подставив найденное значение µ в последние равенства, получим формулы для cosα , cos β , cosγ и p :

55

рис. 3.2

С другой стороны, проекция ломаной равна сумме проекций ее звеньев, т.е.

пр. (OPSMK ) = пр. (OP) + пр. (PS) + пр. (SM ) + пр. (MK ).

x1 cosα + y1 cos β + z1 cosγ −d = p ,

откуда:

d = x1 cosα + y1 cos β + z1 cosγ − p ,

т. е. чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно в левую часть нормального уравнения плоскости подставить вместо текущих координат координаты данной точки и взять модуль полученной величины.

плоскости. Знак δ указывает, лежит ли точка по ту же сторону от плоскости, что и начало координат, или по другую сторону (минус в первом случае и плюс во втором).

57

уравнение (3.21) плоскости, получим:

− D ax − D by − D cz + D = 0 .

Сокращая на D , которое по предположению не равно нулю, найдем:

− ax − by − cz +1 = 0 ,

или

Это и есть искомое уравнение плоскости в отрезках.

Замечание. К виду (3.23) можно привести уравнение всякой плоскости за исключением случая D = 0 , т. е. плоскости, проходящей через начало координат.

Пример 9.

Записать уравнение плоскости

3x −4y + z −5 = 0

в отрезках.

Полагая в данном уравнении y = z = 0 , найдем отрезок a:

3x −5 = 0 ,

откуда

x = 53 , т. е. a = 53 .

Аналогично, полагая x = z = 0 , найдем отрезок b:

−4y −5 = 0 ,

откуда

y = − 54 , т. е. b = − 54 .

Наконец, полагая x = y = 0 , найдем отрезок с: z −5 = 0 ,

откуда

59

z = 5 , т. е. c = 5 .

Следовательно, уравнение плоскости в отрезках будет иметь вид: 5x + −y5 + 5z =1.

3 4

60