Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Липецкий государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

методичка по математике (целиком)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

417 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

		3 −6 −2					−5						Умножимвторую					7				0	6		7
		3 −6 −2					−5											7				0	6		7
=		2	3		4			6			=								2			3	4		6
=		2	3		4			6			=		строкуна2 и			=			2			3	4		6	=
		5	0		8			7					сложимспервой					5				0	8		7
		4	0		5			6					сложимспервой					4				0	5		6
		4	0		5			6										4				0	5		6
				7	6	7				Вычтемвторуюстрокуиз										2	−2		0



=	3 (−1)2+2			5	8	7	=			первой, а						=	3			1		3	1		=
				4	5	6				третью вычтем										4		5	6
				4	5	6				извторой										4		5	6


=		Прибавимвторой							= 3			0	− 2	0	= 3 (− 2) (−1)1+2						4	1		=


												4	3	1
		столбецкпервому										4	3	1							9	6
												9	5	6
=6 (24 − 9) = 6 15 = 90.												9	5	6
=6 (24 − 9) = 6 15 = 90.

ПРИМЕР 2 Вычислить определитель 5 порядка

	3		6	5	6	4		Произведем
	3		6	5	6	4		Произведем
	5		9	7	8	6		тотально уменьшение
	6		12 13		9	7	=	элементовопределителя.Дляэтого			=
	4		6	6	5	4		вычтем 5 - юстрокуиз1- й, удвоенную
	2		5	4	5	3		5 - юизвторой, утроенную5 - юиз
	2		5	4	5	3		третьей, удвоенную5 - юиз4 - й.
		1	1		1	1	1	третьей, удвоенную5 - юиз4 - й.
										Теперьсделаем нуливпервомстолбце,

		1	−1	−1		−2	0
		1	−1	−1		−2	0
=		0	−3		1	−6	−2		=	взяв1юстрокувкачестверабочей.		=
		0	−4	−2		−5	−2
		2	5		4	5	3


	1			1		1					1		1						Расположимопределительпо
	1			1		1					1		1
	0			−2		−2				−3			−1
	0			−2		−2				−3			−1
=	0			−3		1				−6			−2			=			элементам1гостолбца.								=
	0			−4		−2				−5			−2
	0			3		2					3		1
							−2					−2				−3				−1


= 1 (−1)1+1							−3						1		−6					−2		=		Вынесем(-1) из1- й, 2 - й					=
							−3						1		−6					−2				Вынесем(-1) из1- й, 2 - й
							−4				−2					−5				−2				и3 - йстрок.
							3						2			3				1
					2	2					3		1
					2	2					3		1
= (−1)3					3	−1					6		2			=		Вычтемиз4 - йстроки							=
					3	−1					6		2					Вычтемиз4 - йстроки
					4	2					5 2							1- ю.
					3	2					3		1
		2		2		3					1
		2		2		3					1
= −		3			−1	6					2		=	Разложимопределительпо												=
= −		3			−1	6					2		=	Разложимопределительпо												=
		4		2		5					2			элементам4 - йстроки.
			1	0		0					0
								2					3			1				Вычтемиз2 - йстроки удвоенную
= (−1)(−1)4+1


								−1					6			2	=											=
								2					5			2				1- ю.
								2					5			2
	2			3		1			= (−5) (−1)2+1												3 1		= 5 (6 −5)= 5.


=	−		5		0 0
=	−		5		0 0																5	2
	2			5		2															5	2
	2			5		2

ПРИМЕР 3 Исследовать и решить систему

− x

+ x

+2x

+3x

= 2,

6x1 −3x2 + 2x3 + 4x4 +5x5 = 3,

−3x2

+ 4x3

+8x4 +13x5 = 9,

6x1

−2x

+ x

+ 2x

=1.

Составим расширенную матрицу системы и проверим выполнение теоремы Кронекера-Капелли, используя элементарные преобразования матриц:

									2	−1	1	2	3	2
									2	−1	1	2	3	2
					~				6	−3	2	4	5
					~				6	−3	2	4	5		3		~
					A =				6	−3	4	8	13	9			~
									6	−3	4	8	13	9
									4	−2	1	1	2	1
		−1

	2		1	2	3		2				Так как 2 - яи3 - ястроки
	2		1	2	3		2
			−1	−2	−4	−
~	0 0		−1	−2	−4	−		3		~	пропорциональны,								~
~	0	0	1	2	4		3			~	пропорциональны,								~
	0	0	1	2	4		3				товычеркиваем2 - юстроку.


	0 0		−1	−3	− 4	−3
	0 0		−1	−3	− 4	−3
	2	−1	1	2	3		2
	2	−1	1	2	3		2
~	0	0	1	2	4		3			~	Прибавимк3 - йсроке							~
	0 0		−1	−3	−4	−3					2 - ю.


							2			−1	1	2	3			2
							2			−1	1	2	3			2
					~		0			0	1	2	4			3
					~		0			0	1	2	4			3
							0			0	0	−1	− 0			0

Так как = ~ , то по теореме Кронекера-Капелли система rang A rang A

совместна. В качестве базисного минора выберем минор, составленный из 2- го, 3-го и 4-го столбцов. Поэтому x2 , x3 и x4 возьмем за основные неизвестные, а x1 и x5 - за свободные.

Восстановим систему по последней матрице, и выразим основные неизвестные через свободные.

		2x					− x			2	+ x	3			+ 2x		4	+3x				5	= 2,
					1					2		3					4					5
											x3 + 2x4 + 4x5 = 3,
															x4								= 0.
															x4								= 0.
			x		2	− x		3		−2x			4		= 2x			+3x				5	−2,
					2			3					4				1					5
							x3 + 2x4 =											−4x5 +3,
											x4			= 0.
											x4			= 0.
Из 2-го уравнения	x3	= −4x5 +3
Из1го уравнения	x2	= 2x1 +3x5 −2 + x3														= 2x1 +3x5 −2 −4x5 +3 = 2x1 − x5 +1.
							x											x
									1						2x1			1
							x2								2x1	− x5 +1
		Χ	общ			= x				3	=					−4x				5	+		3	, x ; x	5	R.
			общ							3										5				1	5
							x4										0
																		x5
							x5											x5
Найдем Хчаст , положив x1				=1, x5						= 0.
																1
																3
																3
							X			част				=		3			.
										част						0
																0
																0
																0

ПРИМЕР 4 Исследовать и решить однородную систему. Найти ФСР.

						x				x				+ x						= 0,
							1					3				5
								x2				− x4						+ x6 = 0,
														+ x5 − x6 = 0,
						x1 − x2								+ x5 − x6 = 0,
								x	2		− x		3				+ x		6	=0,
									2				3		+ x				6	=0.
						x						− x		4	+ x					=0.
							1							4		5
							1					0	−1			0			1	0
								0				1		0		−1			0
								0				1		0		−1			0	1
						A = 1 −1								0 0 1						−1		~
								0				1	−1			0			0	1
								0				1	−1			0			0	1
												0		0		−1			1	0
							1					0		0		−1			1	0
			1		0	−1	0			1			0			1 0				−1 0 1 0
				0 1		0	−1 0 1									1 0				−1 0 1 0
				0 1		0	−1 0 1										0 1			0 −1 0 1
	~			0	−1	1 0 0											0 1			0 −1 0 1				~
	~			0	−1	1 0 0						−1			~		0 1			−1		0 0 1		~
						−1 0											0 1			−1		0 0 1
			0 1			−1 0				0 1							0 0 1 −1 0 0
				0	0	1	−1			0			0				0 0 1 −1 0 0
				0	0	1	−1			0			0
	1 0				−1	0	1	0					1 0 −1 0 1 0
													1 0 −1 0 1 0
~		0		1	0	−1	0	1				~		0		1		0 −1			0	1	. rang A= 3 < 6.
		0 0			−1 1 0 0
		0 0			−1 1 0 0									0 0 1 −1 0 0
		0		0	1	−1	0	0						0 0 1 −1 0 0
		0		0	1	−1	0	0

Система имеет нетривиальные решения.

Восстановим систему по последней матрице, взяв x1 , x2 , x3 за основные неизвестные, а x4 , x5 , x6 - за свободные.

− x

= −x

=x5 − x6 ,

= x4

Теперь x1 = x4

− x5 .

− x

− x6

, x

общ

Найдем фундаментальную систему решений, используя метод бегущей единицы

						1							−1							0
						0							1							−1
						0							1							−1
		C				1		; C					0		; C			=		0
		C		=				; C			=				; C			=
			1		1				2			0					3		0
						0							1							0
						0							1							0
						0							0							1
						0							0							1
Общее решение запишем следующим образом.
								λ1 −λ2
								λ2				−λ3
Χ		=λ C + λ	C		+ λ C					λ				,λ ,λ			,λ R.
Χ	общ	=λ C + λ	C	2	+ λ C		3	=		1				,λ ,λ		2	,λ R.
	общ	1 1 2		2		3	3			λ				1		2		3
										1
										λ2
										λ	3
											3

ПРИМЕР 5 Найти собственные значения и собственные векторы линейного

преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

Решение.

	2	−1	2
	5	−3	3
А =				.
	−1	0	−2

Составим характеристическое уравнение матрицы А

2 −λ	−1	2
2 −λ	−1	2
5	−3 −λ	3	= 0
−1	0	− 2 −λ

(2 −λ)(−3 −λ)(− 2 −λ)+3 + 2 (−3 −λ)+ 5(− 2, −λ)=0 λ3 + 3λ2 + 3λ +1 = 0

(λ +1)3 = 0

λ1 = λ2 =λ3 = −1.

Найденные собственные значения подставим в уравнения

где A,m, n

Получим

(2	−λ)A−1 m + 2n = 0,
	5A+(−3 −λ)m +3n = 0,
	5A+(−3 −λ)m +3n = 0,
	−1A+0 m +(−2, −λ)n = 0,
	−1A+0 m +(−2, −λ)n = 0,

- координаты собственного вектора e .

3A−m +2n = 0,

5A−2m +3n = 0,
	= 0.
−A−n

3		−1 2			1		0 1		1	0 1		1	0 1
	5	−2 3		~		3	−1 2	~			~
													, rang A = 2 .
	−1 0 −					5			0	−1 −1		0	1 1
			1				−2 3

Восстановим систему

A	+ n = 0,
	m + n = 0,
	m + n = 0,

						A = −n; m = −n
						e ={−n;−n;n}.n R.
						илиe ={−1, −1,1} t,	t R.
						ЗАДАНИЕ 1
						Вычислить определитель
	5	2	1	3	2			2	1	4	3	5
	5	2	1	3	2			2	1	4	3	5
	4	0	7	0	0			3	4	0	5	0
1)	2	3	7	5	3		2)	3	4	5	2	1
	2	3	6	4	5			1	5	2	4	3
	3	0	4	0	0			4	6	0	7	0
	7	2	1	3	4			1	2	3	4	5
	7	2	1	3	4			1	2	3	4	5
	1	0	2	0	3			0	6	0	4	1
3)	3	0	4	0	7		4)	2	4	1	3	5
	6	3	2	4	5			1	3	5	2	4
	5	1	2	2	3			0	5	0	3	2

	2	−1 3		4	−5		5	−5 −3 4			2
	2	−1 3		4	−5		5	−5 −3 4			2
	4 −2		7	8	−7		−4	4	3	6	3
5)	−6	4 −9 −2 3				6)	3	−1	5 −9 −5
	3 −2 4			1 −2			−7	7	6	8	4
	−2	6	5	4	−3		5	−3	2 −1 −2

	2			1 2			3 2					2 −3		5 −2			1
	2			1 2			3 2					2 −3		5 −2			1
			3 −2 7				5 −1				3		2	5 −4 −3
7)			3 −1 −5 −3 −2						8)	−2			3 −4			2 −3
			5 −6 4				2 −4				6		4	7 −8 −1
			2 −3 3				1 −2					2 −1		7		1	5
	5			9 −2 −4 5								3 4 −3 −1 2
	5			9 −2 −4 5								3 4 −3 −1 2
			2 −3 4 −3 3									−5 6			5 2 3
9)			−5	−7		2	4	−2	10)		4		−9	−3		7	−5
			4 −5 8 −6					8				−1 −4			1	1 −2
			6 −5 3 −3					7				−3 7			5 2 3
			3	2	1	3	2					1	1		4	3	5
			3	2	1	3	2					1	1		4	3	5
			4 0 7 0 0									−1	4 0 5 0
11)			−1	3	7	5	3		12)			−1	4		5	2	1
			−1 3 6 4 5									−4 5 2 4 3
			3 0 4 0 0									−2	6 0 7 0
			5 2 3 3 4									3 2 −1 4 5
			5 2 3 3 4									3 2 −1 4 5
			1 0 2 0 3									6 6 −4 4 1
13)			3	0	4	0	7		14)		6		4 −2		3	5
			4	3	5	4	5				4		3	3	2	4
			4 1 3 2 3									5 5 −3 3 2
			2 −1			3 −1 −5						5 −2 −3				2	2
			2 −1			3 −1 −5						5 −2 −3				2	2
			2 −2 7				1 −7					−4	1		3	3	3
15)			−2	4	−9		1	3	16)		3		−6		5	−4	−5
			1 −2			4 −1 −2						−7	1		6	4	4
		4 6				5	1 −3					5 −5			2	1 −2

	3	1	2 3		2		5	−3	3	−2 1
	3	1	2 3		2		5	−3	3	−2 1
	1	−2 7		5 −1			1	2	1	−4	−3
17)	2	−1	−5	−3	−2	18)	−5	3	−2	2 −3
	−1	−6	4	2 −4			2	4	−1	−8	−1
	−1	−3	3	1 −2			3	−1	8	1	5

	5	7 −2 −4 1					7	4	−4 −1		2
	5	7 −2 −4 1					7	4	−4 −1		2
	2 1		4	−3	0		1	6	7	2 3
19)	−5	−5	2	4	2	20)	−5	−9	4	7	−5
	4	3	8	−6 2			−5 −4		2	1 −2
	6	−2	3 −3		4		4	1	3	2	3

ЗАДАНИЕ 2 Исследовать систему, найти общее и частное решение, а для однородных

систем найти ФСР.

2x1 − x2

+ x3 + 2x4 +3x5 = 2,

6x1 + 4x2 +5x3 + 2x4 +3x5 =1,

6x1 −3x2 + 2x3 + 4x4 +5x5 = 3,

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5

= 3,

− x

+3x

+7x

+11x

= 8,

3x + 2x

−2x

+ x

= −7,

2x1 − x2

− x4

− x5 = −1

9x1 +6x2 + x3 +3x4 + 2x5 = 2

x1 + 2x2

+3x3 −2x4 + x5 = 4,

6x1 +3x2 + 2x3 +3x4 + 4x5 = 5,

3x1 +6x2 +5x3 −4x4 +3x5 = 5,

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 +3x5

= 4,

+ 2x

+7x

−4x

+ x

=11,

+ 2x

+3x

+ 2x

+ x

= 0,

2x1 + 4x2 + 2x3 −3x4 +3x5 = 6

2x1 + x2 +7x3 +3x4 + 2x5 =1

3x1 + 2x2 + x3 +3x4 +5x5 = 0,

6x1 −2x2 + 2x3 +5x4 +7x5 = 0,

6x1 + 4x2 +3x3 +5x4 +7x5 = 0,

9x1 −3x2 + 4x3 +8x4 +9x5 = 0,

+6x

+5x

+7x

+9x

= 0,

6x −2x

+6x

+7x

+ x

= 0,

3x1 + 2x2 + 4x4 +8x5 = 0

3x1 − x2 + 4x3 + 4x4 − x5 = 0

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20251 Мб2Методичка лабораторных работ по обследованию(ур...doc
#
11.05.20151 Мб72методичка мк 1638.pdf
#
27.08.2019170 Кб26методичка неорганика металлы.doc
#
01.05.20251 Мб5Методичка по АПР.doc
#
11.05.2015134 Кб6Методичка по курсовой работе.doc
#
11.05.2015417 Кб54методичка по математике (целиком).pdf
#
18.08.2019310 Кб10Методичка по МВКО.doc
#
17.11.2019313 Кб6Методичка по социологии и политологии для эксте...doc
#
01.05.2025388 Кб0Методичка по экономике.doc
#
01.05.2025363 Кб1Методичка РАИС - КР (ИММиФ-СПО АСУ).doc
#
13.11.20197 Мб18Методичка САПР (дополненная)1.doc