Проверка построенных эпюр

Существует несколько способов проверки эпюр, в том числе с использованием зависимостей (5.4) и (5.5). Рассмотрим два самых простых способа:

1. Проверка эпюры : при движении по эпюре (ее обводке) справа – налево скачки на ней должны быть равны по величине и направлению локальным силам, приложенным к балке в этих сечениях. Проверим эпюру на рис. 5.5: в сечении А скачок вверх на 0,75кН, здесь действует 0,75кН вверх; сечение С, здесь скачок вниз от 0,75 до 2,75 т.е. на 2 кН, здесь действует 2кН вниз; в сечении В скачок от 0,75 до -1, т.е. на 1,75кН вверх, здесь действует = 1,75кН вверх; в сечении D нет скачка и нет силы.

Итак, во всех сечениях правило выполняется.

2. Проверка эпюры : скачки на эпюре по модулю должны быть равны локальным моментам, действующим на балку в этих сечениях. Проверим эпюру на рис. 5.5: в сечении А скачок на 2кНм, здесь действует 2кНм; в сечении В скачок на 1кНм, здесь приложен 1кНм; больше скачков на эпюре нет и на балке нет локальных моментов.

Итак, во всех сечениях правило выполняется. Наличие на эпюре скачка без приложенного момента на балке говорит об ошибочности эпюры .

Пример 2.

Криволинейный брус радиуса (арка)

Дано: 2м, 2кН, 4кН, 2кНм (рис.5.6)

K

R_k

H_k

M_k

Рис.5.6

Опорные реакции в заделке можно определить из обычных трех уравнений статики. По виду конструкции арки и ее нагрузки имеем только один участок. В произвольном месте арки делаем разрез (сечение) в т. D. Очевидно, что проще рассмотреть ту часть арки , где приложены нагрузки, тогда не надо определять все реакции опор . Положение разреза т. D определим угловой координатой (т. D надо выбрать так на рис. 5.6, чтобы угол был острым). В сечении D вводим оси так, чтобы ось была направлена по касательной к арке в т. D,а ось по радиусу. Здесь , т.е. в пределах всей арки рассматривается левая часть арки от разреза. Силы и разложим на составляющие по осям и на рис. 5.6. При этом получим два прямоугольных треугольника, в которых необходимо найти по признакам равенства углов (два угла равны, если их стороны параллельны или взаимно перпендикулярны).

Кроме и в поперечном сечении арки возникают – внутренние продольные силы, которые определяются по формулам, аналогичным (5.2) и (5.3), полученным в разделе 1.

(5.7)

Учитывая, что мы рассматриваем левую отсеченную часть арки, по формулам (5.2), (5.3) и (5.7) получим:

(5.8)

Здесь и плечи у сил и , определяются из рис. 5.6. Все эпюры криволинейны, поэтому определяем не менее трех точек на каждой эпюре по формулам (5.8):

Выбираем масштабы для и откладываем полученные значения с учетом знаков: положительные – внутрь, т.е. вдоль оси , отрицательные – наружу, против оси . В каждом сечении величины откладываются по радиусам. На каждой эпюре полученные точки соединяем плавными кривыми. Далее, при необходимости, надо уточнить эпюры с учетом следующих правил:

1. Если на эпюре меняется знак, надо найти величину , где = 0. В этом сечении, при на эпюре будет экстремум. Для этого в формулу (5.8а) подставим = 0 при и найдем угол . Далее в (5.8в) подставим и найдем . На нашей эпюре этот случай присутствует. Вычислим:

Отсюда и угол

= – 4,47кН

2. Если на эпюре меняется знак (как у нас), надо найти , где = 0 по (5.8в). В этом сечении, т.е. при на эпюре и на эпюре будут экстремумы. Вычислим их:

По (5.8в)

и угол

По (5.8а) и (5.8с) найдем при

= – 4,47кН

= – 14,94кНм

Найденные экстремальные значения откладываем на эпюрах и с их учетом строим окончательные эпюры и , которые показаны на рис. 5.6. На эпюрах ставятся знаки, штриховка делается по радиусам.

Нормальные напряжения при чистом изгибе

Выше (см. зависимости (5.1)) было установлено, что при отсутствии в балке продольных сил нормальные напряжения в поперечных сечениях зависят от изгибающего момента, а касательные – лишь от поперечной силы.

Это позволяет упростить вычисление , а именно провести его для случая, когда . Такой случай, как уже было установлено выше, называется чистым изгибом.

Кроме того полагаем, что балка симметрична относительно плоскости внешних сил, поэтому обе ее половинки деформируются симметрично относительно этой плоскости, т.е. рассматриваем случай плоского изгиба.

Уравнения статики (5.1) в таком случае имеют вид

и (5.9)

Однако найти из этих уравнений нельзя, т.к. мы не знаем закона распределения по ординате у.

Для решения задачи необходимо привлечь условия деформации, которые можно сформулировать только на основании экспериментальных наблюдений. Так, например, если на боковую поверхность бруса нанести сетку в виде продольных и поперечных прямых и загрузить брус по концам положительными изгибающими моментами, то после деформации продольные линии примут криволинейное очертание, а поперечные линии останутся прямыми. Этот факт и другие экспериментальные исследования изгиба балок дают основания для ряда допущений, положенных в основу дальнейших выводов:

1. При чистом изгибе поперечные сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации (гипотеза Бернулли);

2. Продольные волокна друг на друга не давят и испытывают простое линейное растяжение или сжатие;

3. Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков.

Mx Mx Рис.5.7

Рассмотрим элемент бруса дли-ной , который после деформации искривляется (рис. 5.7). Два смеж-ных сечения, согласно принятой гипотезе Бернулли, останутся плос-кими, но наклонятся друг к другу, образовав между собой угол . При этом верхние волокна ока-жутся сжатыми, а нижние рас-тянутыми. На каком-то уровне по высоте балки волокна останутся

недеформированными, назовем их нейтральными. На поперечном сечении (рис. 5.7б) поверхность, в которой лежат нейтральные волокна, образует след – нейтральную линию ОХ. Радиус кривизны нейтрального волокна обозначим .

Найдем удлинение какого-либо волокна АВ, расположенного на расстоянии у от нейтрального слоя и растянутого напряжением . Первоначальная длина этого волокна равна . После деформации его длина стала равной . Абсолютное удлинение . Относительное удлинение равно

На основании второго и третьего допущений для вычисления напряжений можно воспользоваться законом Гука при растяжении

или (5.10)

Из выражения (5.10) видно, что напряжения распределены по высоте сечения по линейному закону. Однако вычислить их значения еще нельзя, т.к. неизвестно, следовательно, неизвестно расположение нейтрального слоя по высоте сечения.

Подставим зависимость (5.10) в первое уравнение статики (5.9)

Так как , то

Полученный интеграл представляет собой статический момент площади поперечного сечения относительно нейтральной оси. Так как он равен нулю, то, следовательно, нейтральная ось должна проходить через центр тяжести сечения.

Подставим теперь зависимость (5.10) во второе уравнение (5.9)

Как известно, интеграл, входящий в это выражение, представляет собой момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси Х, т.е.

поэтому

откуда находим кривизну нейтрального слоя:

(5.11)

Подставив это выражение в формулу (5.10) получим

(5.12)

Примечание: Если главная центральная ось у сечения не является осью симметрии сечения (например, швеллер), то для плоского изгиба необходимо, чтобы внешняя нагрузка и опорные реакции лежали в плоскости, параллельной плоскости и проходящей через центр жесткости сечения.

Экстремальные напряжения. Момент сопротивления сечения

Из формулы (5.12) видно, что экстремальные (max) напряжения (растягивающие (р) и сжимающие (сж)) будут в точках сечения балки, наиболее удаленных от нейтральной оси х:

Здесь и координаты надо подставлять со своими знаками, при этом автоматически получается знак . Это важно для балок, изготовленных из хрупких материалов (чугун, бетон), которые хорошо работают на сжатие и плохо на растяжение. Балки из пластичных материалов (стали) одинаково сопротивляются растяжению и сжатию, поэтому обычно их поперечные сечения симметричны относительно оси х (двутавр), для них

и

Обозначим

– момент сопротивления симметричного сечения (5.13)

Тогда

(5.14)

Здесь знак напряжений для расчетов на прочность роли не имеет и определяется по физическому смыслу (в растянутой зоне сечения « »).

Для прямоугольного сечения шириной b и высотой h:

Для круглого сечения радиуса

Для кольцевого сечения с и

Значения для стандартных двутавров и швеллеров приводятся в таблицах ГОСТа.

Балки из хрупких материалов обычно изготавливают несимметричными относительно оси х. При этом, для равнопрочности их желательно, чтобы расстояния до крайних точек сечения от оси х были пропорциональны допускаемым напряжениям на растяжение и сжатие.