0.74 1.12 3.75 4.33 5.71 6.09 7.89 8.03 9.55 10.22.

Методом найбільшої правдоподібності побудувати оцінку для .

Розв’язання. Оскільки значення наведені у зростаючому порядку, то це варіаційний ряд. Тому . Щільність розподілу випадкової величини є при. Функція правдоподібності визначається таким чином:

Очевидно, що функція досягає свого максимуму при . Тому вибираємо .

Приклад 5. Нехай – це вибірка, що отримана для випадкової величини з щільністю розподілу

Методом найбільшої правдоподібності побудувати оцінки для і.

Розв’язання. Оскільки

,

то функція правдоподібності визначається рівнянням:

.

Очевидно, що для будь-якого фіксованого максимум функції досягається при (враховується те, що завжди ). Далі з рівняння

знаходимо

.

• Довірчий інтервал. Нехай і– деякі функції від вибірки. Якщо

,

то кажуть, що невідомий параметр належитьдовірчому інтервалу (,) з рівнем довіри.

Якщо – це вибірка з нормальної генеральної сукупності, то довірчий інтервал для математичного сподівання визначається за формулами:

1. при відомій дисперсії

, (46)

де знаходиться з рівнянняабо, де– це функція Лапласа, яка визначається згідно з (42);

2. при невідомій дисперсії

, (47)

де

(48)

і знаходиться з рівняння, – це щільність розподілу Стьюдента з ступенем свободи,

.

Якщо ж генеральна сукупність не є нормально розподіленою, то для побудови довірчого інтервалу для математичного сподівання можна скористатися центральною граничною теоремою, згідно з якою при великих значеннях і відомій дисперсії має місце наближена рівність (46). Якщо ж і дисперсія невідома, то замістьу формулі (46) використовують вибіркову дисперсію .

Довірчий інтервал для дисперсії нормально розподіленої генеральної сукупності визначається таким чином:

, (49)

де вибіркова дисперсія визначається згідно з (48), а і знаходяться з рівнянь

(50)

де – це щільність -розподілу зступенем свободи,

.

Приклад 6. Середньоквадратична похибка висотоміру складає 15(). Скільки таких приладів повинен мати літак для того, щоб з імовірністю 0.99 абсолютна похибка середньої висоти не перевищувала 30, якщо відомо, що похибки висотомірів мають нормальний розподіл і відсутні систематичні похибки?

Розв’язання. Позначимо через загальну кількість висотомірів, а через– результати вимірювання висоти. Якщо– це справжнє значення висоти, то згідно з умовою задачі похибка-го вимірюваннямає нормальний розподіл з параметрами 0 і. Умовою задачі є, де випадкова величинатакож має нормальний розподіл з параметрами 0 і. Таким чином,

,

де – це функціяЛапласа, яка визначається згідно з (42). Розв’язуючи останнє рівняння, за допомогою таблиці для функції Лапласа знаходимо , тобто . Звідси робимо висновок, що двох висотомірів буде цілком досить для отримання потрібної абсолютної похибки з вказаною достовірністю.

Приклад 7. Під час контрольних випробувань 16 приладів було знайдено оцінки математичного сподівання та середньоквадратичного відхилення часу їх безвідмовної роботи, а саме та Вважається, що час безвідмовної роботи кожного приладу має нормальний розподіл. Потрібно:

1. побудувати довірчий інтервал для математичного сподівання та середньоквадратичного відхилення з достовірністю 0.9;

2. визначити ймовірність, з якою можна стверджувати, що абсолютне значення похибки оцінки не перевищує , а відповідна похибка при визначенні не перевищує

Розв’язання. Нехай – це середній час безвідмовної роботи приладу. Треба побудувати довірчий інтервал дляу випадку, коли дисперсіяневідома, але відома її статистична оцінка . Згідно з формулою (47)

,

де знаходиться з рівняння, а – це щільність розподілу Стьюдента з ступенем свободи. З таблиці для розподілу Стьюдента прита знаходимо, що , тобто з ймовірністю 0.9

Довірчий інтервал для середньоквадратичного відхилення побудуємо за формулою (49), згідно з якою

,

а величини і визначаються співвідношенням (50). З таблиці для -розподілу зступенем свободи признаходимо: і , тобто з достовірністю 0.9.

Ймовірність того, що абсолютне значення похибки оцінки не перевищує , визначається рівністю (див. (47))

,

де – це щільність розподілу Стьюдента з ступенем свободи, азнаходиться з рівняння

,

тобто . З таблиці для розподілу Стьюдента з ступенем свободи 15 знаходимо, що .

Аналогічно оцінюємо ймовірність того, що абсолютне значення похибки при визначенні не перевищує Скористаємось рівністю (49), згідно з якою

,

де – це щільність -розподілу зступенем свободи, а і знаходяться з рівнянь

тобто

З таблиці для -розподілу з ступенем свободи 15 знаходимо, що.

• Критерій перевірки статистичної гіпотези.Нехай – набір значень деякої випадкової величини(вибірка). Розглянемо дві гіпотези:

випадкова величина має функцію розподілу;

випадкова величина має іншу функцію розподілу.

Припустимо, що числова вісь розбита начастин, що не перетинаються:. Позначимо. Нехай– це кількість тих точок, які потрапили в.Мірою Пірсона називається величина

(51)

Теорема Пірсона. Для будь-якого

,

де .

Алгоритм перевірки гіпотези за критеріємформулюється таким чином:

• на основі вибірки обчислюютьта;

• обирають рівень значимості і за таблицею для-розподілу зступенем свободи знаходятьтаке, що;

• перевіряють, чи виконана подія ;

• якщо ця подія виконана, то гіпотеза приймається.

Приклад 8. Лічильник реєструє надходження частинок. Розглядається всього інтервалів однакової довжини. Нехай– це кількість інтервалів, у яких було зареєстрованочастинок. За допомогоюкритерія перевірити, чи наступні дані

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

51 183 366 499 520 393 255 147 52 22 12

не суперечать розподілу Пуассона. Обрати рівень значимості .

Розв’язання. Позначимо через кількість частинок, що надходять в одному інтервалі. Згідно припущеннюмає розподіл Пуассона, тобто

де – параметр, оцінку якого будуємо таким чином:

,

Далі обчислюємо . Для цього спочатку знаходимо теоретичні ймовірностіреєстраціїчастинок, а також інші дані, що використовуються для обчислення:

0 0.02 50.6 0.40 0.16 0.003

1 0.08 197.4 206.2 1.045

2 0.15 384.8 355.3 0.923

3 0.20 500.3 1.7 0.003

4 0.20 487.8 32.2 1037.1 2.126

5 0.15 380.5 12.5 156.7 0.412

6 0.10 247.3 7.7 59.1 0.239

7 0.06 137.8 9.2 84.9 0.616

8 0.03 67.2 230.2 3.427

9 0.01 29.1 50.5 1.736

10 0.005 11.3 0.65 0.4 0.037

Згідно з (51) маємо . Оскільки кількість інтервалів, то кількість ступенів свободи дорівнює(враховується, що параметрпідлягав оцінці). Далі за таблицею для-розподілу з 9 ступенями свободи знаходимотаке, що:. Оскільки, то гіпотеза={наведені чисельні дані не суперечать розподілу Пуассона} приймається.