7. Загальне поняття випадкової величини, функції від випадкових величин

• Нехай – імовірнісний простір.Випадкова величина – це функція , визначена на, що приймає значення ві є вимірною відносно-алгебри, тобто для будь-якого дійсногоФункцією розподілу випадкової величини називається функціяЯкщо функція розподілуєабсолютно неперервною, тобто її можна подати у вигляді

то це означає, що випадкова величина маєщільність розподілу

Припустимо, що Математичне сподівання випадкової величини визначається за формулою

(30)

Дисперсія випадкової величини визначається рівністю

(31)

Нехай – випадкова величина, яка має функцію розподілуСумісний розподіл випадкових величин тавизначається як

Коваріація ікоефіцієнт кореляції випадкових величинівизначаються формулами

(32)

де ,та,обчислюються згідно з (30), (31).

Приклад 1. Нехай випадкова величина має функцію розподілуЗнайти функцію розподілу випадкової величинита обчислити

Розв’язання. Випадкова величина є дискретною і може приймати три значення:, якщо; 0, якщо;, якщо. Якщо черезтапозначити ймовірності відповідних подій, то

Математичне сподівання обчислюється за формулою

Приклад 2. Нехай – функція розподілу випадкової величини. Знайти функцію розподілу і щільність розподілу випадкової величини

Розв’язання. Оскільки з ймовірністю 1, то для Розглянемо випадок, колиТоді

Щільність розподілу визначається таким чином: якщоякщо

Приклад 3. Випадкова величина має функцію розподілуЗнайти функцію розподілу випадкової величини.

Розв’язання. Позначимо Оскількиз імовірністю 1, тодляідля. Розглянемо випадок, коли(рис. 9).

Враховуючи періодичність функції , маємо:тоді і тільки тоді, коли

Оскільки ці інтервали не перетинаються

При цьому враховано, що

Рис. 9.

Приклад 4. Щільність розподілу вектора дорівнює

Знайти щільність розподілу випадкової величини

Розв’язання. Оскільки , якщоабо, то з ймовірністю 1та. Тому для будь-якого. Нехай.Скористаємось формулою:

(33)

для будь-якої борелівської функції зуі будь-якого. Покладемо . Із співвідношення (33) випливає, що

Таким чином

• Рівномірний розподіл. Випадкова величина має рівномірний розподіл на відрізку, якщо її функція розподілу має вигляд

При цьому .

Приклад 5. Випадкові величини інезалежні і рівномірно розподілені на відрізку. Знайти функцію розподілу випадкової величини

Розв’язання. Оскільки випадкові величини іналежать відрізкуз ймовірністю 1, тоз ймовірністю 1. Тому, якщо, і, якщо. Припустимо, що. Скористаємось формулою (33). У нашому випадку, , якщо , і в усіх інших випадках. Тому

Розглянемо два випадки.

1. . Тоді

2. . Тоді

Приклад 6. Точка рівномірно розподілена в областіЗнайти:a) щільності розподілів та;b) та ; c) та ; d) коваріацію випадкових величині.

Розв’язання. Позначимо Рівномірний розподіл точкив областіозначає, що сумісна щільність випадкових величинівизначається таким чином:, якщо, і, якщо, де константа– це площа області. Щільність розподілувипадкової величини визначається за формулою

Аналогічно знаходиться – щільність розподілу випадкової величини . Обчислюємо математичне сподівання:

що випливає з непарності підінтегральної функції. Аналогічно . Обчислюємо дисперсію:

Останній інтеграл обчислюємо за допомогою заміни . В результатімаємо Аналогічно

Коваріацію обчислюємо згідно з (32):

.

• Показниковий (експоненціальний) розподіл. Випадкова величина має показниковий розподіл з параметром, якщо її функція розподілу має вигляд

При цьому .

Приклад 7. Нехай і– незалежні випадкові величини, які мають показниковий розподіл з параметром. Обчислити:a) щільність розподілу ;b) щільність розподілу .

Розв’язання. Позначимо . Випадкова величинаможе приймати будь-яке значення з. Нехай. Розглянемо функцію розподілу

Розглянемо два випадки.

1. . Враховуючи те, що , маємо

2. . Тоді , якщо , і , якщо. Звідси отримуємо

Об’єднуючи ці два розв’язки, маємо

Розглянемо розподіл випадкової величини

і якщо. Таким чином, ми отримали, щомає показниковий розподіл з параметром.

Приклад 8. Нехай і– незалежні випадкові величини, які мають показниковий розподіл з параметрамиівідповідно. Довести, що величинитанезалежні.

Доведення. Позначимо

Потрібно довести, що для будь-яких тамає місце співвідношення

(34)

Обчислимо окремо розподіли випадкових величин і, а також їх сумісний розподіл:

Інтеграл у правій частині останнього співвідношення оцінюється так само, як і у попередньому прикладі. В результаті чого маємо:

Обчислимо сумісний розподіл

де Розглянемо три випадки.

1. . Враховуючи те, що , якщо , маємо

2. . Тоді маємо:

, якщо ;

, якщо ;

якщо

, якщо .

Звідси отримуємо

EMBED Equation.3

3. . Тоді маємо:

, якщо ;

, якщо ;

якщо;

, якщо .

Аналогічно випадку B отримуємо

В усіх трьох випадках отримано співвідношення (34), що свідчить про незалежність випадкових величин і.

• Нормальний розподіл .Випадкова величина має нормальний розподіл, якщо її щільність розподілу має вигляд

При цьому .

Приклад 9. Випадкові величини тає незалежними і мають нормальний розподіл з тими ж самими параметрамита. Знайти коефіцієнт кореляції величинта. Довести, що .

Розв’язання. Позначимо . Для знаходження коефіцієнту кореляції скористаємось формулою (32). Враховуючи незалежність випадкових величинтаі те, що, маємо

Позначимо через івідповідно щільність розподілу та функцію розподілу випадкових величинта. Тоді

тобто

Обчислимо перший доданок у правій частині останнього співвідношення. Оскільки тамають однаковий розподіл, то . Таким чином, маємо

Другий доданок обчислюється таким чином

де – це щільність нормального розподілу з параметрамита. Звідси маємо , що і треба було довести.

Приклад 10. Нехай випадкові величини – незалежні і мають нормальний розподіл. Довести, що щільність розподілу випадкової величинидорівнює

(35)

де , – гамма-функція ( – це щільність -розподілу зстепенями свободи).

Доведення. Скористаємось методом математичної індукції. Знайдемо спочатку розподіл випадкової величини : для будь-якогомаємо

(36)

що узгоджується з формулою (35), якщо прийняти до уваги, що . Припустимо, що формула (35) має місце для будь-якого . Доведемо її для випадкудоданків. Враховуючи незалежність випадкових величин,для будь-якого маємо

де – це щільність розподілу випадкової величини (див. (36)). Таким чином,

Використаємо заміну та отримаємо

. (37)

Враховуючи те, що для бета-функції має місце співвідношення

,

маємо

.

Підставляючи цей вираз у формулу (37) і враховуючи те, що , одержуємо

,

що і треба було довести (див. формулу (35)).