Таблиця 4.1. Варіанти завдань до задачі 4

План розв’язування задачі

1. Визначити положення центра ваги перерізу в системі координат y’,

z’.

2.Провести головні центральні осі інерції y, z і визначити в цій системі координати точки прикладання сили (полюса) yP, zР.

3.Обчислити головні центральні моменти інерції перерізу I y , Iz і

радіуси інерції iy , iz .

4.Знайти відрізки yн, zн, що відсікаються нейтральною лінією на осях y, z, провести нейтральну лінію і визначити координати небезпечних (найбільш віддалених від нейтральної лінії) точок.

5.Обчислити допустиме значення сили Р з умов міцності в небезпечних точках перерізу.

6.Побудувати епюру розподілення нормальних напружень в перерізі.

Розв’язання задачі

До колони з перерізом, який показано на рис. 4.3, прикладена сила Р в точці з координатами y 'P = 5 ñì , z 'P =10 ñì . Визначити допустиму силу Р

йпобудувати епюру розподілення напружень в перерізі.

1.Визначаємо координати центра ваги С перерізу.

Розглядаючи переріз складеним з двох частин −прямокутника 80× 40 см з центром ваги С1 і вирізу 56× 28 см з центром ваги С2, знайдемо координату y 'C центра ваги перерізу:

42

Y ’

Y ’

Y ’

Рис. 4.2. Варіанти поперечних перерізів до задачі 4

43

2. Через центр ваги перерізу С проводимо головні центральні осі інерції перерізу −y, z.

В цій системі координат точка прикладення сили (полюс) має координати yP = −9,3 ñì , zP = −30 ñì .

3. Визначаємо головні центральні моменти інерції і радіуси інерції перерізу.

Моменти інерції перерізу відносно головних центральних осей:

Iz = IzI − IzII = (Iz1 + a12F1) − (Iz2 + a22F2 ) =

=(80 ×403 + 5,72 ×80 ×40) − (56 ×283 +11,72 ×56 ×28) =123474,6 ñì 4. 12 12

Радіуси інерції перерізу відносно головних центральних осей:

44

4. Визначаємо положення нейтральної лінії і координати небезпечних точок.

Відрізки ун і zн, які відсікає нейтральна лінія на головних центральних осях, знайдемо за формулами:

Нейтральна лінія займає положення, яке показане на рис. 4.4. Небезпечними будуть точки А і В, що найбільш віддалені від нейтральної лінії. При цьому в точці А діють максимальні стискувальні, а в точці В – максимальні розтягувальні напруження.

Y

B

2

Z

Z H

A

, М П а

Рис. 4.4. Положення нейтральної лінії і епюра напружень

45

Координати небезпечних точок:

5. Визначаємо допустиме значення сили Р.

Запишемо умови міцності для кожної з небезпечних точок і визначимо допустимі значення сили [ P− ] і [ P+ ] , які будуть задовольняти умови міцності за стискувальними (т. А) і розтягувальними (т. В) напруженнями.

Для точки А, враховуючи, що P < 0 , маємо:

=163,2 êÍ .

Здвох значень [ P+ ] і [ P− ] вибираємо менше [ P− ] =163,2 êÍ . У цьому випадку будуть задовольнятися умови міцності і в т. А, і в т. В.

6.Оскільки допустиме значення сили ми визначили з умови міцності в

т.В, то під час дії цієї сили напруження в т. В будуть дорівнювати допусти-

46

мим – 2 Ì Ï à . Знаючи, що на нейтральній лінії σ = 0 , можна легко побудувати лінійну епюру розподілення нормальних напружень в перерізі (див. рис. 4.4).

47

ЗАДАЧА 5 РОЗРАХУНОК КРУГЛОГО ВАЛА НА ЗГИН З КРУЧЕН-

НЯМ

Сталевий вал зі шківом пасової передачі 3 та двома зубчастими колесами 1, 2 (рис. 5,1, табл. 5.1) рівномірно обертається з швидкістю ω і передає потужність, задану на зубчастих колесах або на шківі і одному з коліс.

Визначити діаметр вала, нехтуючи його власною вагою і вагою коліс та шківа. Кут зачеплення α = 20° , a =1 ì , діаметр початкового кола колеса 1 d1 = 0,5 м , діаметр шківа d3 = 0,25 м . Взяти коефіцієнт запасу nT =1,5

.

48

Рис. 5.1. Варіанти схем валів до задачі 5

49

План розв’язування задачі

1.Визначити на шківі або колесі потужність, де її не задано, з умови рівномірного обертання вала, нехтуючи тертям у підшипниках.

2.Обчислити зовнішні моменти Mê на кожному колесі та шківі, приклавши їх у відповідному напрямку.

3.Визначити сили в передачах.

4.Зобразити в аксонометрії схему навантаження вала, звівши сили до центрів ваги перерізів і розклавши їх на горизонтальні та вертикальні складові.

5.Побудувати епюри крутних моментів та згинальних моментів у горизонтальній та вертикальній площинах.

6.Визначити небезпечний переріз.

7.Обчислити діаметр вала за одним з критеріїв міцності, округливши його величину до найближчого більшого значення згідно з рекомендованим рядом лінійних розмірів R 40 (див. додаток 1).

коефіцієнт запасу міцності nT =1,5 .

1. Визначимо потужність N2 на колесі 2 (за умовою задачі потужності N1 на колесі 1 і N3 на шківі 3 задані). Для цього скористаємось умовою рівномірного обертання вала. Орієнтуючись на напрямок дії моментів від заданого навантаження (див. рис. 5.2), запишемо:

N1 = N2 + N3 .

50

Звідси N2 = N1 − N3 = 50 − 30 = 20 кВт .

Рис. 5.2. Схема навантаження вала

2. За обертального руху обертальний момент пов’язаний з потужністю співвідношенням:

T = Nω .

Таким чином, до коліс 1, 2 і шківа 3 прикладені моменти:

T1 = Nω1 = 5050 =1 кН ×м ;

T2 = Nω2 = 5020 = 0,4 кН ×м ;

T3 = Nω3 = 3050 = 0,6 кН ×м .

3. Ці моменти створюються відповідними силами в передачах:

51

4. Будуємо в аксонометрії розрахункову схему вала, звівши сили до центрів ваги перерізів і розклавши їх на горизонтальні і вертикальні складові (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Розрахункова схема вала

Визначаємо компоненти навантажень, вказані на рис. 5.3:

P1y = P1 sin50° = 4,3×0,766 = 3,3 кН ;

P1z = P1 cos50° = 4,3×0,643 = 2,8 кН ;

P2 y = P2 sin 20° = 5,7 ×0,342 =1,9 кН ;

P2z = P2 cos20° = 5,7 ×0,94 = 5,4 кН .

5. Будуємо епюри крутних та згинальних моментів у вертикальній та горизонтальній площинах.

Визначаємо опорні реакції в кожній площині з умов рівноваги балки (розрахункові схеми подані на рис. 5.4).

52

Увертикальній площині xy :

åM zA = RBy ×3 − P2 y ×1+ P1y ×2 − P3 ×4 = RBy ×3 −1,9 ×1+ 3,3×2 −14,4 ×4 = 0 ;

åM zB = RAy ×3 + P2 y ×2 − P1y ×1− P3 ×1 = RAy ×3 +1,9 ×2 − 3,3×1−14,4 = 0 .

Звідси RAy = 4,6 кН , RBy =17,6 кН .

Угоризонтальній площині xz :

åM yA = RBz ×3 − P2z ×1− P1z ×2 = RBz ×3 − 5,4 ×1− 2,8×2 = 0 ;

åM yB = RAz ×3 − P2z ×2 − P1z ×1 = RAz ×3 − 5,4 ×2 − 2,8×1 = 0 .

Звідси RAz = 4,5 кН , RBz = 3,7 кН .

Побудувавши епюри крутних моментів та згинальних моментів M z і M y у вертикальній і горизонтальній площинах відповідно (див. рис. 5.4), визначаємо небезпечний переріз. Для цього зручно спочатку побудувати епюру сумарного згинального моменту Mc . Ординати цієї епюри в характерних точках знаходимо за формулою:

Mc = M z2 + M y2 .

У перерізі 2:

Mc2 = 4,62 + 4,52 = 21,16 + 20,25 = 6,4 êÍ ×ì .

У перерізі 1:

Mc1 = 11,12 + 3,72 = 123,21+13,69 = 11,7 êÍ ×ì .

У перерізі В:

Mc = 14,4 êÍ ×ì .

53

Проаналізувавши епюри крутного та сумарного згинального моментів, приходимо до висновку, що небезпечним є переріз В. Тут діє максималь-

ний крутний момент ( Ì êð = 0,6 êÍ ×ì ) та сумарний згинальний момент (

Ì ñ =14,4 êÍ ×ì ).

6. Для визначення необхідного діаметра вала скористаємось третьою теорією міцності. Записуємо умову міцності:

Враховуючи, що осьовий момент опору круглого перерізу W = pd3 , 32

знаходимо:

d ³ 3 32 ´14,41´106 = 95,8 мм . p ´167

Згідно з рекомендованим рядом лінійних розмірів R 40 (див. додаток 1) остаточно приймаємо d = 96 мм .

55