1.Записати диференціальне рівняння малих вимушених коливань системи відносно положення стійкої рівноваги.
2.Визначити статичний прогин δст балки під дією ваги двигуна Q .
3.Обчислити власну колову частоту системи ω0 .
4.Визначити частоту змушувальної сили p .
5.Встановити довжину балки, при якій виникає резонанс.
6.Знайти довжину балки, при якій виникають коливання вдалині від
резонансу (ω0 = 1,3p ).
7.Визначити амплітуду вимушених коливань балки вдалині від резонансу.
8.Визначити динамічний прогин балки.
9.Визначити коефіцієнт динамічності.
10.Визначити максимальне нормальне напруження σñòmax в балці від
сили Q .
11. Визначити максимальне динамічне напруження.
|
|
Розв’язання задачі |
|
|
||
Електродвигун, |
що встановлений |
на |
шарнірно-опертій |
балці |
||
(рис. 10.2), робить |
n = 900 î á |
õâ . Внаслідок |
неврівноваженості |
ротора |
||
виникає вертикальна складова відцентрової сили інерції F0 = 0,2 êÍ |
. Маса |
|||||
електродвигуна |
m = 100 êã , |
модуль |
пружності матеріалу |
балки |
||
E = 2 ×105 Ì Ï à |
, момент інерції перерізу балки |
Iz =254 ñì 4 , момент опору |
||||
Wz =37,2 ñì 3 .
1. Запишемо диференціальне рівняння малих вимушених коливань системи відносно положення стійкої рівноваги:
&x + ω02x = Fm0 cos pt ,
85
де F0 і p – амплітуда і частота змушувальної сили, ω0 – власна колова частота.
F = F0 cos pt 2.
Ви-
2l |
l |
Рис. 10.2. Схема навантаження балки
значимо статичний прогин δcò балки під дією сили, яка дорівнює вазі двигуна Q = mg , методом Мора.
Побудуємо епюри моментів від сили Q та одиничної сили X1 =1
(рис. 10.3). |
|
|
|
|
||||
Визначимо реакції |
|
A та |
|
B : |
|
|
|
|
R |
R |
|
|
|
||||
åM B = −Q ×2l + RB ×3l = 0 ; |
RB |
= Q ×2l = |
2 Q ; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3l |
3 |
åM A = RA ×3l + Q ×l = 0 ; |
|
RA = Q . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
Запишемо рівняння M для першої ділянки: |
|
|
||||||
M PI (x) = RA ×x = Q x ; |
I : 0 ≤ x ≤ 2l ; |
|||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
M PI (0) = 0 ; |
M P |
(2l) = |
2 Ql . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
Для другої ділянки: |
|
|
|
|
||||
M PII (x) = RB ×x = |
2 Q ×x ; |
II : 0 ≤ x ≤ l ; |
||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
86
M PII (0) = 0 ; |
M PII (l) = |
2 Ql . |
|
|
3 |
Будуємо допоміжну систему, яку навантажуємо одиничною силою в точці прикладання сили Q.
Визначаємо реакції RA та RB :
|
x |
Q |
|
A |
x |
||
|
|||
I |
II |
||
|
|||
|
2l |
l |
A |
x |
x |
|
||
|
|
B
B
Рис. 10.3. Епюри згинальних моментів |
|
|
|
|
|
|
||||||||
åM A = − |
|
|
1 ×2l + |
|
B ×3l = 0; |
|
|
B = |
2 |
; |
||||
X |
R |
R |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
åM B = − |
|
A ×3l + |
|
1 ×l = 0; ….. |
|
|
A = |
1 . |
||||||
R |
X |
R |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
Запишемо рівняння моментів від одиничної сили для першої та другої ділянок:
|
|
|
|
I |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
I : 0 ≤ x ≤ 2l : |
|
M |
|
(x) = |
3 x ; |
|
|
|
|
II |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
II : 0 ≤ x ≤ l : |
M |
|
|
(x) = |
3 x . |
|
87
Обчислимо інтеграли Мора (на 2-х ділянках):
|
2l M pI |
|
I dx |
|
l |
M pII |
|
II dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
2l 1 |
|
|
|
|
|
l 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
M |
|
M |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
δñò = |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
( |
ò 3 |
Qx × |
xdx + |
ò 3 |
Qx |
× |
xdx) = |
|||||||||
|
|
|
EI |
|
|
|
|
EI |
|
|
|
EI |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
Qx3 |
2l |
|
4Qx3 |
|
l |
1 |
|
|
|
8Ql3 |
4Ql3 |
|
12Ql3 |
|
4Ql3 |
|
||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
( |
|
|
|
|
| |
|
+ |
|
|
|
| ) = |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
+ |
|
|
) = |
|
|
= |
|
|
|
. |
|||||
|
EI |
|
|
|
|
|
|
27 |
|
EI |
27 |
27 |
27EI |
9EI |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
27 0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Отже |
|
|
δñò |
= |
4Ql3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
9EI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. Запишемо формулу для колової власної частоти ω0 : |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω0 = |
|
|
g |
|
|
= |
|
9gEI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4Ql3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δÑÒ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4. Частота змушувальної сили визначається за формулою |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p = |
πn = 900 ×3,14 |
= 94,2 ñ-1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. Визначимо довжину l балки, при якій виникає резонанс ( p = ω0 ) :
|
|
|
|
9gEI |
= 94,2 |
; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
4Ql3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
l |
= 3 |
|
9gEI |
|
|
|
; |
|
|
||||
|
|
|
4Q(94,2)2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
l = 3 |
9 ×9,81×2 ×1011 ×254 ×10−8 |
= 3 |
|
= 1,09 ì . |
|||||||||||
1,288 |
|||||||||||||||
4 ×100 ×9,81×8873,64 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Загальна довжина балки буде складати
l + 2l = 3l = 3×1,09 = 3,27 ì .
88