§4 . Векторное произведение

4.1: Определение векторного произведения

Определение: Векторы иназываются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Определение: Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим. Например, в записи (;;) векторсчитается первым,- вторым,– третьим; в записи (;;) вектор– первый,- второй,– третий.

Определение: Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если после приведения их к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.

Тройка векторов (;;), изображенных ниже: а) правая, б) левая

а) б)

Определение: Векторным произведением вектора на векторназывается вектор, который определяется тремя условиями:

1. длина вектора равна ||·||sin , где  - угол между векторами и;

2. вектор перпендикулярен каждому из векторови;

3. векторы ,,образуют правую тройку векторов

Заметим, что условия 2) и 3) относятся к случаю, когда ||·||sin   0. Если же ||·||sin  = 0 (т. е. либо, по крайней мере, один из векторов инулевой, либоsin  = 0), то векторное произведение определяется только условием 1): в этом случае= 0.

4.2. Основные свойства векторного произведения

1.= 0, еслии- коллинеарные векторы.

Доказательство. Если векторы иколлинеарны, тоsin = 0. Следовательно, || = ||·||sin  = 0, т. е. длина вектора равна нулю, а значит, и сам векторравен нулю.

2. Длина векторного произведения неколлинеарных векторов иравна площади параллелограмма ОАВС, построенного на этих векторах

Доказательство: Как известно из элементарной геометрии, площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними. Отсюда ||·||sin  = S, т. е. || =S.

3. = – (свойство антиперестановочности сомножителей).

4. (λ)= λ () (свойство сочетательности по отношению к скалярному множителю).

5. (+)=+(свойство распределительности относительно суммы векторов).

6. =, если два ненулевых вектора коллинеарны и наооборот.

Замечание: Свойство (5) дает право при векторном умножении векторных многочленов выполнять действия почленно, а свойство 3) – объединить числовые коэффициенты векторных множителей. Например,

(2+ 3)(4+ 5) = (2+ 3)4+ (2+ 3)5= 24+ 34+ 25+ 35= 8 () + 12 () + 10 () + 15(+).

Следует, однако, помнить, что порядок сомножителей векторного произведения является существенным и при перестановке сомножителей знак векторного произведения нужно заменить, например,

(++)( 2+ 3)= 2() + 2() + 2() + 3() + 3() + 3() = 2() 2() + 3() +3() = 2() + 3 () ().

Замечание 2: Согласно определению и свойству 1 и 2 векторного произведения для базисных векторов ,,получаем следующие равенства = 0  =  = -  = -  = 0  =

=   = -  = 0.

4.3. Выражение векторного произведения через координаты векторов

Теорема: Если векторы изаданы своими координатами:=Х₁У₁ Z₁  и =Х₂У₂ Z₂ , то векторное произведение вектора на векторопределяется формулой

=  ( У₁ Z₂ – У₂ Z₁₎  (Х₂ Z₁ – Х₁Z₂)  (Х₁ У₂ – Х₂ У₁ ) .

Эту формулу с помощью определителей второго порядка можно записать в виде

 =  .

С помощью определителя третьего порядка эту формулу можно записать так:

==( У₁ Z₂ - Z₁У₂) + (Х₂ Z₁ – Z₂ Х₁) +

+(Х₁ У₂ – Х ₂ У₁) .

Доказательство: Разложим векторы ипо базису   = Х₁+ У₁+Z₁,= Х₂+ У₂+Z₂,

 = Х₁ Х₂ ( ) + Х₁У₂ () +Х₁ Z₂ ( ) + У₁ Х₂ ( ) + У₁ У₂ () + У₁ Z₂ () +Z₁ Х₂ ( ) +Z₁У₂ () +Z₁ Z₂ ( ) . Отсюда на основании равенства ( 2 ), находим

= (У₁ Z₂ – У₂ Z₁) + (Х₂ Z₁ – Х₁Z ₂)+ (Х₁ У₂ – Х₂ У₁) или

= + +.

Получено разложение вектора  по базису   коэффициенты этого разложения представляют собой координаты вектора  . Таким образом, =Х УZ  , где Х = , У = , Z = (3) .

Пример: Даны векторы =2 57 , и =1 24 . Найти координаты векторного произведения  .

Решение: По формуле ( 3 ) находим Х = = 6 У = = - 1 Z = = – 1 .

Итак,  =6– 1 – 1.