5.3. Выражение смешанного произведения через координаты векторов

Теорема: Если векторы ,, заданы своими координатами=Х₁ У₁ Z₁  и =Х₂У₂ Z₂ ,={Х₃; У₃; Z₃}, то смешанное произведение ··определяется формулой

· ·==Х₁ +У₁+Z₁ .

Доказательство: Имеем:··= · ( ) . По теореме о выражении векторного произведения через координаты векторов =;;.

Умножая скалярно вектор =Х₁У₁ Z₁  на вектор  и используя теорему о выражении скалярного произведения через координаты получаем

· ·= Х₁ + У₁ +Z₁ . 

Пример. В пространстве даны четыре точки: А(1; 1; 1), В(4; 4; 4), С (3; 5 ; 5 ), D(2; 4; 7). Найти объем пирамиды, с вершинами в данных точках.

Решение. Как известно из элементарной геометрии, объем тетраэдра АВСD равен одной шестой объема параллелепипеда, построеного на векторах , , ; отсюда из теоремы о смешанном произведении заключаем, что объем тетраэдра равен абсолютной величины смешанного произведния · · . Найдем это смешанное произведение. Прежде всего, определим координаты векторов ; ; . Для этого из координат конца вектора вычесть координаты начала: = {3; 3; 3}, ={2; 4; 4}, = {1; 3; 6}. Используя теорему о смешанном произведении, получаем · · = 3 + 3 + 3 = 3 · 12 – 3 · 8 + 3 · 2 = 18. Отсюда V = · 18 = 3 куб. ед.

§6. Аксиоматические построения и система аксиом

6.1. Векторное пространство, n - мерный вектор

Множество всех плоских или пространственных векторов, рассмотренных ранее нами, в которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, являются простейшими примерами векторных пространств, в частности = {Х; У;Z} – вектор в трехмерном пространстве. Очень часто при вычислениях, связанных с векторами отвлекаешься от геометрического смысла вектора и имеешь дело лишь с его координатами. По аналогии с описанной моделью множества векторов трехмерного пространства можно рассмотреть понятие n - мерного векторного пространства.

Определение: n – мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде = ( х₁, х₂, х₃, ....., х _n )

Понятие n – мерного вектора широко используется в экономике, например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором = (х₁, х₂, х₃, ....., х _n ), а соответствующие цены – вектором = ( у₁, у₂ ,у ₃,....уn ).

Два n – мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т. е. = , если х_i =у_i, i = 1,2,3.....,n.

Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор = + , компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т. е . z_i = х_i + у_i i = 1,2,3....., n.

Произведением вектора на действительное число называется вектор = , компонентыu_i которого равны произведению  на соответствующие компоненты вектора , т. е.u_i =  х _{i ,} i = 1, 2, 3....., n.

Линейные операции над любыми векторами удовлетворяют следующими свойствами:

1. + = + - коммутативное (переместительное) свойство суммы.

2. (+ ) + = + ( + ) – ассоциативное (сочетательное) свойство суммы.

3. (  ) = (  ) - ассоциативное относительно числового множителя свойство.

4. ( +  ) = + – дистрибутивное (распределительное) относительно суммы числовых множителей свойство.

5. (+ ) =  + – дистрибутивное относительно суммы векторов свойство.

6. Существует нулевой вектор =(0 , 0,.....0) такой, что + = для любого вектора(особая роль нулевого вектора ).

7. Для любого вектора существует противоположный вектор (-) такой, что+( -) = .

8. 1 =для любого вектора(особая роль числового множителя 1).

Определение: Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше восьми свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называется векторным пространством.

По аналогии с линейно зависимыми и линейно независимыми строками матрицы вводится понятие линейной независимости векторов.

Определение: Вектор _m называется линейно комбинацией векторов ₁, ₂, ₃,.... _m векторного пространства R, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа: _m = _{1 1}+ _{2 2}+ _{3 3}+....+  _{m-1 m-1} , где ₁ , ₂ , ...  _m-1- произвольные действительные числа.

Определение: Векторы ₁, ₂, ₃,.... _m векторного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа ₁ , ₂ , ..... _m , не равные одновременно нулю, что

_{1 1} + ₂₂+ ... +. _mm= .

В противном случае векторы ₁, ₂, ₃,.... _m называются линейно независимыми.

Если векторы ₁, ₂, ₃,.... _m линейно зависимы, то, по крайней мере, один из них линейно выражается через остальные. Верно и обратное утверждение о том, что если один из векторов выражается линейно через остальные, то все эти векторы в совокупности линейно зависимы.

Примером линейно независимых векторов являются два неколлинеарных вектора ₁ и ₂ на плоскости. Действительно, условие _{1 1}+ _{2 2} = 0 будет выполняться лишь в случае, когда

₁= ₂ = 0, ибо если, например ₂  0, то ₂ = – ₁ и векторы ₁ и ₂ коллинеарны. Однако любые три вектора плоскости линейно зависимы.

Свойства векторов линейного пространства:

1. Если среди векторов ₁, ₂, ₃,.... _m имеется нулевой, то эти векторы линейно зависимы.

2. Если часть векторов ₁, ₂, ₃,.... _m являются линейно зависимыми, то и все эти векторы – линейно зависимые.

Действительно, если, например, векторы ₁, ₂, ₃,.... _m линейно зависимы, то справедливо равенство _{2 2} +  _mm= , в котором не все числа ₂....  _m и ₁= 0 будет справедливо равенство _{1 1} + _{2 2}+ ... +. _mm= .

Пример: Выяснить, являются ли векторы ₁ =(1, 3, 1, 3), ₂ = (2, 1, 1, 2 ), ₃ = ( 3, - 1, 1, 1 ) линейно зависимыми.

Решение. Составим векторное равенство _{1 1} + _{2 2}+_{3 3} = или

₁ + ₂ + ₃ = .

Задача свелась, таким образом, к решению системы:

Решая систему методом Гаусса, приведем ее к виду:

откуда найдем бесконечное множество ее решений (₁ = с, ₂ = -2с, ₃ = с), где с - произвольное действительное число.

Итак, для данных векторов условие _{1 1} + ₂₂+ ... +. _mm= выполняется не толдько при ₁ = ₂ = ₃ =0 (а, например, при ₁=1, ₂ = -2, ₃ =1 (с =1); при ₁ =2, ₂ =-4, ₃ =2 (с =2) и т.д.), следовательно, эти векторы – линейно зависимые.

Линейное пространство R называется n- мерным, если в нем существует n линейно независимым вектором, а любые из (n + 1) векторов уже являются зависимыми. Другими словами, размерность пространства - это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Число n называется размерностью пространства R и обозначает dim(R) .

Совокупность n линейно независимых векторов n- мерного пространства R называется базисом.

Теорема: Каждый вектор х линейного пространства R можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса.

Доказательство:

Пусть векторы е₁, е₂ ,..., е_n образуют произвольный базис n- мерного пространства R . Так как любые из

(n + 1) векторов n- мерного пространства R зависимы , то будут зависимы , в частности , векторы е₁ , е₂,..., е_n и рассматриваемый вектор х. Тогда существуют такие не равные одновременно нулю числа ₁, ₂ ,_n ,  , что

₁ е₁ + ₂ е₂ +...+  _n е _n + х =0

При этом   0, ибо в противном случае , если  = 0 и хотя бы одно из чисел ₁, ₂ ,..., _n было бы

отлично от нуля, то векторы е₁ , е₂ ,..., е_n были бы линейно зависимы. Следовательно,

= - е₁ - е₂ - ... - е _n или = х₁ е₁ + х₂ е₂ +...+х _n е _n где х _i = - (i = 1, 2, ...., n) (*)

Это выражение через е₁, е₂,..., е _n единственное, так как если допустить какое – либо другое выражение, например, = у₁ е₁ + у₂ е₂ +...+у _n е _n , то, вычитая из него почленно (  ), получим

( у₁ – х ₁₎ е₁ + (у₂ – х ₂) е₂ + ...+ (у _n – х _n) е _n = 0 , откуда из условия линейной независимости векторов е₁ , е₂,..., е _n следует, что у₁ – х ₁= у₂ – х ₂= ...= у _n – х _n = 0 или у₁ = х ₁, у₂ = х ₂ ... у _n = х _n у _n = х _n . 

Равенство (  ) называется разложением вектора по базису е₁ , е₂,..., е _n, а числа х ₁, х ₂ ... х _n – координаты вектора относительно этого базиса. В силу единственности этого разложения каждый вектор однозначно может быть определен координатами в некотором базисе.

Важное значение имеет следующая теорема, которую мы приведем без доказательства:

Теорема. Если е₁ , е₂,..., е _n – система линейно независимых векторов пространства R и любой вектор а линейно выражается через е₁ , е₂,..., е _n ,то пространство R является n- мерным , а векторы е₁ , е₂,..., е _n – его базисом.

Пример. В базисе е₁, е_{2 ,} е₃ заданы векторы а₁ = (1; 1; 0), а₂ = (1; -1; 1) и а₃ = (-3; 5;-6) . Показать, что векторы а₁ ,а_{2 ,} а₃ образуют базис.

Решение. Векторы а₁ , а_{2 ,} а₃ образуют базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство: ₁ а₁+ ₂ а₂ +  ₃ а ₃ = 0. Решая его аналогично примеру 1 можно убедиться в единственном нулевом решении: ₁ + ₂ +  ₃ = 0 , т.е. векторы а₁ , а_{2 ,} а₃ образуют систему линейно независимых векторов и, следовательно, составляют базис.