11. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке.

Непрерывная функция— функция без «скачков», то есть такая, у которой малые измененияаргументаприводят к малым изменениям значения функции.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, навещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения.

ε-δ определение

Пусть и.

Функция непрерывна в точке, если для любогосуществуеттакое, что для любого

Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке данного множества.

В этом случае говорят, что функция классаи пишут:или, подробнее,.

Комментарии

• Определение непрерывности фактически повторяет определение предела функции в данной точке. Другими словами, функция непрерывна в точке ,предельной для множества , еслиимеет предел в точке , и этот пределсовпадает со значением функции .

• Функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.

Точки разрыва

Если условие, входящее в определение непрерывности функции в некоторой точке, нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв. Другими словами, если— значение функциив точке, то предел такой функции (если он существует) не совпадает с. На языке окрестностей условие разрывности функциив точкеполучается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точкиобласти значений функции, что как бы мы близко не подходили к точкеобласти определения функции, всегда найдутся такие точки, чьиобразыбудут за пределами окрестности точки.

Устранимые точки разрыва

Если предел функции существует, но он не совпадает со значением функции в данной точке:

тогда точка называетсяточкой устранимого разрывафункции(вкомплексном анализе—устранимая особая точка).

Если «поправить» функцию в точке устранимого разрыва и положить, то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называетсядоопределением функции до непрерывнойилидоопределением функции по непрерывности, что и обосновывает название точки, как точкиустранимогоразрыва.

[Править] Точки разрыва первого и второго рода

Если предел функции в данной точке отсутствует (и функцию нельзя доопределить до непрерывной), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:

• если оба односторонних предела существуют и конечны, но хотя бы один из них отличен от значения функции в данной точке, то такую точку называют точкой разрыва первого рода;

• если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода.

Свойства Локальные

• Функция, непрерывная в точке , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.

• Если функция непрерывна в точкеи(или), то(или) для всех, достаточно близких к.

• Если функции инепрерывны в точке, то функцииитоже непрерывны в точке.

• Если функции инепрерывны в точкеи при этом, то функциятоже непрерывна в точке.

• Если функция непрерывна в точкеи функциянепрерывна в точке, то ихкомпозиция непрерывна в точке.