23. Производные высших порядков

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором отрезке [a; b]. Значение производной f'(x), вообще говоря, зависит от x, т.е. производная f'(x) представляет собой тоже функцию переменной x. Пусть эта функция также имеет производную. Дифференцируя ее, получим так называемую вторую производную от функции f(x).

Пусть y = f(x) является дифференцируемой функцией. Тогда производная также представляет собой функцию от x. Если она является дифференцируемой функцией, то мы можем найти вторую производную функции f, которая обозначается в виде

Аналогично, если f '' существует и дифференцируема, мы можем вычислить третью производную функции f:

Производные более высокого порядка (если они существуют), определяются как

Для нахождения производных высшего порядка можно использовать следующие формулы:

Пример 1

Найти y'', если . Решение. Возьмем первую производную дифференцируя функцию как произведение.        Теперь найдем производную второго порядка

26. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей.

Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или. Тогда, если существует предел отношения производных этих функций, то существует и предел отношения самих функцийf(x)/g(x) при x→а, причем

(1)

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

24.Теорема Ролля.

Теорема Ролля утверждает что, если вещественная функция, непрерывная на отрезке идифференцируемая на интервале , принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которойпроизводная функции равна нулю.

Доказательство

Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.

Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и полемме Ферма, в этой точке производная равна 0.

Следствия

• Многочлен -ой степениможет иметь не болееразличныхкорней.

• Если многочлен степени выше второй имеет ровноразличных корней, то его производнаяимеет ровнокорень.

• 1. Теорема Ролля

• Знание производной некоторой функции позволяет судить о характерных особенностях в поведении этой функции. В основе всех таких исследований лежат некоторые простые теоремы, называемые теоремами о среднем в дифференциальном исчислении.

• Начнем рассмотрение таких теорем с теоремы, связываемой с именем французского математика Ролля (1652–1719).

• Теорема 1.1. Если функция непрерывна на отрезке, дифференцируема во всех его внутренних точках, а на концах отрезка,обращается в ноль, то существует, по крайней мере, одна точка, в которой.

• Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке , то, согласно свойству 11.1.1, она должна достигать хотя бы один раз на этом отрезке своего минимумаи максимума(рис. 1.1).

• Если , функция постоянна, то есть. Но в этом случаедля любого.

• В общем случае , и хотя бы одно из этих чисел не равно нулю. Предположим для определенности, что. Тогда существует точка, в которой.

• 

• Рис. 1.1

• Так как рассматриваемое значение является максимальным, то для него справедливо, чтодляи.

• Рассмотрим пределы

• для

• и

• для .

• Так как оба предела равны производной функции в одной и той же точке, то они равны между собой. Значит, из одновременностииследует, что, что и требовалось доказать.

• Следует отметить, что данная теорема справедлива и в том случае, когда на концах отрезка функция не обращается в ноль, но принимает равные значения. Доказательство проводится аналогично.

• Геометрический смысл данной теоремы следующий: если непрерывная кривая пересекает ось в двух точках,или принимает в них равные значения, то, по крайней мере, в одной точке междуикасательная к кривой параллельна оси.

• Необходимо отметить, что если не во всех точках у рассматриваемой функции существует производная, то теорема может не выполняться. Это касается, например, функции(рис. 1.2):

• 

• Рис. 1.2

• Данная функция непрерывна на отрезке и обращается в ноль на его концах, но ни в одной точке внутри отрезка производная не равна нулю.

26. Теорема Лагранжа. Результаты теоремы Ролля используются при рассмотрении следующей теоремы о среднем, принадлежащей Лагранжу (1736–1813).

Теорема. Если функция непрерывна на отрезкеи дифференцируема во всех его внутренних точках, то существует, по крайней мере, одна точка, в которой.

Доказательство. Рассмотрим график функции (рис. 2.1).

Проведем хорду, соединяющую точки и, и запишем ее уравнение. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки на плоскости, получим:

,

откуда:

Рис. 2.1

и .

Составим теперь вспомогательную функцию, вычтя из уравнения кривой уравнение хорды:

.

Полученная функция непрерывна на отрезкеи дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычислениев точкахипоказывает, что. Значит, функцияна отрезкеудовлетворяет требованиям теоремы Ролля. Но в этом случае существует такая точка, в которой.

Вычислим производную функции :

.

Согласно теореме Ролля в точке производная, то естьи

,

что и требовалось доказать.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа следующий: внутри отрезка существует, по крайней мере, одна точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей кривую на данном отрезке. В частности, притеорема переходит в теорему Ролля.

Теорему Лагранжа часто записывают в следующем виде:

,

то есть приращение функции равно приращению аргумента, умноженному на производную функции в некоторой внутренней точке. В связи с этим теорему Лагранжа называют также теоремой о конечных приращениях.