«Изучение вынужденных колебаний в электромагнитном контуре»

1. Введение

Колебательная система совершает вынужденные колебания под действием внешнего периодического воздействия, которым может быть механическая сила, ЭДС, электромагнитное поле.

Изучая поведение системы при изменении частоты внешнего воздействия, оказывается возможным получить исчерпывающие сведения о её свойствах, будь то механическая или электромагнитная система.

Данная лабораторная работа посвящена экспериментальному ознакомлению с вынужденными колебаниями в электромагнитном контуре.

2. Основные понятия

1. По второму закону Кирхгофа сумма падений напряжения в контуре, состоящем из индуктивности L, ёмкости С и активного сопротивления R , в который включена переменная ЭДС, изменяющаяся по гармоническому закону E = E₀ cosωt (рис.1), равняется сумме ЭДС

Рис.1

(1)

где q – величина заряда на емкости, dq/dt = i – сила тока, - Ldi/dt - ЭДС самоиндукции. Введя, как обычно: β = R/2L – коэффициент затухания , ω₀ =- круговую частоту собственных незатухающих колебаний , получим из (1) дифференциальное

уравнение в виде

. (2)

При малом затухании (β < ω₀) решение неоднородного дифференциального уравнения (2) имеет вид

, (3)

где первое слагаемое отвечает собственным затухающим колебаниям, а второе – вынужденным. После окончания переходного процесса установятся вынужденные колебания

, (4)

происходящие с частотой вынуждающей ЭДС ω . Амплитуду вынужденных колебаний и сдвиг фаз φ между колебаниями заряда и вынуждающей ЭДС можно найти методом векторных диаграмм (см. литературу).

Зависимости q_o(ω) и φ (ω) называются амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристиками и имеют вид

, (5)

. (6)

2.2. АЧХ имеет максимум на частоте

, (7)

называемой резонансной.

При этом отношение максимальной амплитуды заряда к амплитуде заряда при малых частотах будет равно , (8) тогда приβ<<ω₀

, (9)

где Q – добротность контура.

2.3. Проанализируем поведение АЧХ в области резонансной частоты при малом затухании. Здесь можно считать ω ≈ ω₀ , тогда

.

Подставляя это выражение в формулу (5), получим

(10)

- уравнение АЧХ при малых расстройках. Такой вид зависимости (или, как говорят, резонансный отклик) характерен для большинства колебательных систем независимо от их физической природы.

Найдём значения частот, при которых q₀(ω) в √2 раз меньше максимального значения

; (11)

Разность этих значений частоты называется полосой пропускания на уровне 0,7 (от максимального)

(12)

2.4. Так как напряжение на ёмкости U_C = q / C, все перечисленные закономерности относятся и к АЧХ напряжения UC. Из формул (4), (5), (7), (8), (9) и (12) получим

, (13)

где U₀ = q₀/C - амплитуда напряжения.

При ω ≈ 0, U₀(0) = E₀ .

При ω = ω_{рез ,} U_0max = QE_0. (14)

Также. (15)

2.5. В лабораторной работе необходимо получить АЧХ напряжения на ёмкости, снимая зависимость амплитуды напряжения U₀ от частоты вынуждающей ЭДС, построить АЧХ (резонансную кривую); определить резонансную частоту, полосу пропускания, рассчитать добротностьQ и, зная ёмкость конденсатора С, найти индуктивность контура L и его активное сопротивление R.

3. Описание лабораторной установки 3.1. Лабораторная установка состоит из генератора звуковых частот ГЗ-33, платы контура и вольтметра V , измеряющего напряжение на конденсаторе (рис. 2).