«Изучение собственных колебаний механических систем»

1. Введение

1.1. Пружинный маятник является одним из самых простых и важных для технических приложений примеров осциллятора – системы способной совершать собственные (при некоторых условиях близкие к гармоническим) колебания.

1.2. Целью настоящей лабораторной работы является экспериментальное ознакомление с собственными колебаниями пружинного маятника и определение некоторых его параметров.

2. Основные понятия

2.1. Дифференциальное уравнение, описывающее динамику одномерных затухающих колебаний пружинного маятника (рис.1), при наличии сил сопротивления пропорциональных скорости (движение с небольшими скоростями в газе или жидкости), можно записать на основе законов Ньютона, Стокса и Гука в следующем виде:

, (1)

ω₀=_, (2)

где x(t) – смещение маятника от положения равновесия, β = r / 2m - коэффициент затухания; ω₀ - круговая частота собственных незатухающих колебаний , m – масса груза, r – коэффициент сопротивления, k – коэффициент упругости пружины.

2.2. Решение этого уравнения при малом затухании (β < ω₀) получаем в виде затухающих колебаний- график на рис.(1):

. (3)

Начальные амплитуда А₀ и фаза α определяются начальными смещением и скоростью .

2.3. Для характеристики степени затухания, кроме величины β, используют логарифмический декремент затухания λ - он равен натуральному логарифму отношения двух последующих амплитуд (отличающихся по времени на период T)

. (4) Из формул (3) и (4) следует

, (5)

где N – число колебаний, совершенных между измерениями амплитуд.

2.4. В процессе колебаний энергия упругой деформации пружины переходит в кинетическую энергию груза и наоборот. Эти переходы сопровождаются потерями.

Удобно пользоваться добротностью осциллятора Q, которая вводится как

. (6)

Можно показать, что при достаточно малом затухании (β <<ω₀)

. (7)

2.5. В данной лабораторной работе нужно определить собственную частоту незатухающих колебаний статическим методом, частоту затухающих колебаний динамическим методом, рассчитать логарифмический декремент затухания и добротность.

3. Описание лабораторной установки

3.1. Общий вид лабораторной установки показан на рис.1. Изучается затухание колебаний в воздухе. Растяжение пружины и амплитуды колебаний определяется по измерительной линейке Л с помощью измерительного диска Д. Время колебаний определяется ручным секундомером.

Рис.1