Тема 2.3. Полярная система координат. Метрические задачи

Литература: [1], гл.4, §4, стр. 77−84; [7], гл.2, § 16, стр. 59–62.

Основные определения, теоремы и формулы

Зададим на ориентированной плоскости точку Oи единичный вектор. Пара, состоящая из точкиOи вектора, называетсяполярной системой координат и обозначается так: (O,). ТочкаOназываетсяполюсом, а прямая, проходящая через точкуOи параллельную вектору, на которой положительное направление определено этим вектором, называетсяполярной осью.

ЕслиOM=ρи направленный угол между векторамииравен φ (Рис. 15), тоρназываетсяполярным радиусом точкиM, а число φ –полярным углом, коротко пишут:M(ρ, φ). К каждой полярной системе координат (O,) можно присоединить положительно ориентированную прямоугольную систему координат, началом которой служит полюсO, первым координатным вектором – вектори направленный угол между векторамииравен(Рис. 16). При этом полярные и прямоугольно декартовые координаты связаны соотношениями:

.

Вопросы для самоконтроля

1. Постройте точки по их полярным координатам: А,В,С,D,Е,F.

2. Определите координаты точек A,B,C,D,E,Fиз предыдущей задачи в присоединенной прямоугольной системе координат.

3. Какие полярные координаты у точки, симметричной точке Аотносительно: 1) полюса; 2) полярной оси?

4. Каким уравнением в полярных координатах задается полярная ось?

5. Что такое обобщенные полярные координаты? Приведите примеры.

Пример1. Найти радиус вписанной в треугольник окружности, если одна из вершин треугольника лежит в полюсе полярной системы координат, а другие в точкахи.

Решение.Из геометрии известно, что, гдеS– площадь треугольника,P– его периметр. Площадь треугольника вычислим по формуле

, иизвестны, они равны соответственно 2 и 4. Длину стороныABнайдем по теореме косинусов. Тогда

,

.

Пример2. Найти полярные координаты точкиA, если ее декартовы координатых=−1,у=3 (полярная ось совпадает с положительной полуосьюОХ) (Рис. 18).

Решение.Замечаем, что,,; так как точкаА лежит воIIкоординатной четверти (x<0, y>0), то,.

Пример 3. Построить кривую (кардиоиду),а– постоянная.

Решение.Придадимразличные значения и вычислим, пользуясь уравнением кривой, соответствующие значения. Результаты занесем в таблицу:

	0
R	2								0

Для удобства взяты только те значения, для которыхвычисляется просто, вычисления приведены с точностью до 0,1.

Нетрудно заметить, что и, значит, кривая симметрична относительно полярной оси. Теперь по точкам построим кривую:

Задачи

1. Построить точки, заданные обобщенными полярными координатами: A(2,), B(−1, ), C(−), D(−3, ).

2. Найти полярные координаты точек, симметричных точкам

A(2, ), B(3, ), C() относительно: а) полюса; б) относительно полярной оси.

3. Даны полярные координаты точек A(2, ), B(), D(3, ). Определить их координаты в присоединенной прямоугольной декартовой системе координат.

4. В полярной системе координат даны точки A(8, −) и B(6, ). Вычислить полярные координаты середины отрезка, соединяющего точки A и B.

5. В полярной системе координат даны точки M(r₁,θ₁) и N(r₂,θ₂). Определить расстояние MN.

6. В полярной системе координат даны две смежные вершины квадрата A(12, −), B(3, ). Определить его площадь.

7. Одна из вершин треугольника находится в полюсе O, а две другие суть точки A(r₁,θ₁), B(r₂,θ₂). Вычислить площадь треугольника OAB.

8. Вычислить площадь треугольника, вершины которого A(3, ), B(8, ), C(6, ) заданы в полярных координатах.

9. В полярной системе координат даны точки M₁(1,0), M₂(2,0), M₃(2,), M₄(,), M₅(1, ). Установить, какие из этих точек лежат на линии, определенной в полярных координатах уравнением r = 2 cos θ. Какая линия определяется данным уравнением? Изобразите ее на чертеже.

10. В полярной системе координат вывести уравнение окружности, которая имеет центр C(ρ₀,φ₀) радиуса r.

11. Прямая, перпендикулярная полярной оси, отсекает на ней отрезок, равный трем. Составить уравнение этой прямой в полярных координатах.

12. Даны уравнения линий в полярных координатах:

1. r = 2 Rcos θ; 2) r = 2 Rsin θ; 3) r = 2 psin θ. Определить, какая фигура задана каждым из уравнений и построить ее схематический чертеж.

Домашнее задание

1. В полярной системе координат даны две вершины правильного треугольника A(4, −) и B(8, ). Определить его площадь.

2. Построить на чертеже следующие спирали Архимеда:

1) r = 2 θ; 2) r = −.

3. В полярных координатах составить уравнение фигуры, каждая точка которой удалена от полярной оси на 5 единиц.