4. Решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных

Если неоднородность в правой части уравнения не позволяет использовать формулы для подбора частного решения, можно воспользоваться методом вариации постоянных.

Пусть решение однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами записано в виде у_одн = С₁у₁ + С₂у₂, где у₁, у₂ – фундаментальная система решений. Будем считать, что при этом решение неоднородного уравнения имеет вид

.

Функции С₁(х) и С₂(х) можно определить из системы уравнений для их производных:

В общем случае, если известна фундаментальная система решений однородного уравнения, то общее решение соответствующего неоднородного уравнения может быть найдено в форме

,

где функции определяется из системы уравнений

Типовые примеры

Найти общее решение уравнения.

1)

►Решим однородное уравнение: λ² + 64 = 0, λ = ± 8i, y_одн = С₁cos 8x + C₂sin 8x,

y_неодн = С₁ (х) cos 8x + C₂ (х) sin 8x. Составим вариационную систему:

Получена линейная система для С₁’ и С₂’. Для ее решения умножим первое уравнение на 8sin 8x, а второе – на cos 8x и сложим левые и правые части полученных равенств:

где

Теперь исключим из системы С₂’. Для этого умножим первое уравнение на

8 cos 8x, а второе – на –sin 8x:

Ĉ = const.

Итак, общее решение исходного уравнения:

◄

2)

►Находим общее решение однородного уравнения:

; ;

Частное решение неоднородного уравнения по методу Лагранжа имеет вид:

Для нахождения функций составляем систему:

Тогда

Таким образом, общим решением уравнения является функция

Здесь A_i, B_i (i =1, 2, 3). ◄

4.Системы дифференциальных уравнений. Системой дифференциальных уравнений называется совокупность уравнений, в каждое из которых входит независимая переменная, искомые функции и их производные. Необходимо иметь в виду, что в большинстве практически важных случаев система двух и более уравнений любого порядка сводится к системе первого порядка, а она, в свою очередь, к единственному уравнению высшего порядка. Верно и обратное.

Канонической системой k дифференциальных уравнений относительно k неизвестных функций называется совокупность уравнений, разрешенных относительно старших производных

Если вид системы сильно упрощается и она называетсянормальной.

Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система дифференциальных уравнений вида:

Решением такой системы называется совокупность функций,,…,, удовлетворяющих всем уравнениям системы.Частным решением системы называется решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям ,,…,, где,,…,– заданные постоянные величины. Если вместе с нормальной системой рассматривать начальные условия то получаетсязадача Коши для систем уравнений. В этом случае справедлива теорема существования и единственности решения, аналогичная теореме для уравнения n-го порядка.

Рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений, причём будем считать, что независимая переменная есть время:

Решения этой системы определяют в параметрическом виде траекторию движения точки в плоскости. Траектория движения точки называетсяфазовой траекторией, а плоскость –фазовым пространством. Координаты вектора скорости в каждой точке фазовой траектории, согласно системе уравнений, равны:

.

Таким образом, нормальная система определяет поле скоростей движения точки по фазовой траектории. Если функции в правой части зависят от времени, то фазовые траектории могут пересекаться.

В случае, когда эти функции не зависят явно от времени , система

называется автономной, динамической или стационарной. В этом случае поле скоростей не зависит от времени, то есть стационарно. Если выполнены условия теоремы Коши, то через каждую точку фазовой плоскости проходит единственная фазовая траектория, и эти траектории не пересекаются.

Дифференциальное уравнение –го порядка в нормальной форме

можно свести к системе дифференциальных уравнений.

Обратно, нормальная система дифференциальных уравнений в большинстве случаев сводится к одному дифференциальному уравнению п–го порядка, решая которое можно найти и решение исходной системы.

На этом основан один из методов интегрирования системы – метод исключения.

Сведение нормальной системы к единственному уравнению проиллюстрируем примером. Пусть дана система

Из первого уравнения получаем , из второго уравнения системы мы получаем уравнение второго порядка относительно функцииy:

Когда функции y и будут найдены, останется только подставить их в имеющееся выражение дляz.

Типовой пример

Найдите методом исключения решение задачи Коши для системы

,

Продифференцируем по первое уравнение системы:и подставим в получившееся равенствоиз второго уравнения системы.Получим или

Решая это линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами, находим неизвестную функцию

Из первого уравнения системы получаем . Дифференцируя функциюи подставляя результат в выражение для, находим вторую неизвестную функцию:

.

Таким образом, общее решение системы имеет вид

Для нахождения частного решения системы запишем начальные условия:

.

Тогда решение задачи Коши для данной системы будет иметь вид

В приложениях обычно часто встречаются системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами:

где ,,…,– постоянные величины.

Системы линейных однородных уравнений можно представить и как единственное уравнение первого порядка с неизвестной вектор-функцией

так что нормальная система

может быть переписана в матричной форме где –матрица коэффициентов правых частей.

Будем решать это векторное дифференциальное уравнение, комбинируя вектор постоянных и переменный скаляр:

Тогда производная в левой части уравнения действует только на экспоненту, позволяя выносить постоянный вектор Y:

Матричное умножение в правой части позволяет вынести скалярный множитель и действовать только наY:

Чтобы удовлетворить векторному дифференциальному уравнению векторY должен быть собственным вектором, отвечающим собственному значению матрицыА:

Как известно из курса линейной алгебры, это означает, что число является корнемхарактеристического уравнения матрицы А:

Раскрытие определителя приводит к алгебраическому уравнению степени k относительно неизвестной , а при найденных из него значениях(некоторые из них могут быть комплексными, некоторые могут совпадать –во всех этих случаях предусмотрены специальные дополнения, вносимые в метод решения) остается получить координаты собственных векторовиз однородных систем линейныхалгебраических уравнений:

что осуществляется в общем случае методом Гаусса.

Очевидно, векторное решение таких алгебраических систем определяется с точностью до скаляра С_i, так что и общее решение системы будет включать необходимый набор неопределенных постоянных:

Задача Коши в этом случае позволит найти конкретные числовые значения постоянных C₁,...,C_k из алгебраической системы уравнений, получающейся отсюда при x=x₀.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами:

Приведем следующие свойства системы

1. Если известна частная система решений ,системы уравнений, то функции,, где– произвольная константа, также образуют систему решений.

2. Если известны две системы решений ,и,, то и функции,также являются решениями и при этом функциипредставляют систему решений при любых постоянныхи.

Если заданы начальные условия ,, то система уравнений для определения постоянныхипримет вид

где ,– значения соответствующих функций при. Для того чтобы эта система имела единственное решение при любых начальных условиях, необходимо и достаточно, чтобы определитель

ни при каком значении не обращался в нуль. Будем говорить, что совокупность двух систем, удовлетворяющих этому условию, образуетфундаментальную систему.

Для решения системы уравнений

где x (t), y (t) – искомые функции, а_1,2, b_1,2 = const, нужно решить характеристическое уравнение

Если корни этого уравнения действительные, то решением системы будут функции вида, причем произвольные постоянныеС₃ и С₄ можно выразить через С₁ и С₂, подставив полученные функции в систему. При совпадении корней характеристического уравнения решением системы будут функции и, гдеλ – корень уравнения. Связь между С₁, С₂ и С₃, С₄ определяется аналогично предыдущему случаю. Если корни характеристического уравнения – комплексно сопряженные числа α + βi и α – βi, решение системы ищется в виде

Типовой пример

Решить задачу Коши для системы

если х (0) = 2, у(0) = -5.

►Составим характеристическое уравнение:

Следовательно, ТогдаПодставим полученные выражения в первое уравнение системы:

, откуда

Итак, общее решение системы: Приt = 0 получаем: откудаС₁ = 4, С₂ = - 2, и частное решение системы: х = 4e^-t – 2e^6t, y = - 3e^-t - 2e^6t. ◄

Типовой пример

Решить систему

►Запишем данную систему в виде

Характеристическое уравнение системы имеет вид

,

откуда . Следовательно,,. Из первого уравнения имеем:. Подставляя вместонайденное выражение, получим,. Эти решения образуют фундаментальную систему, и, следовательно, общим решением системы будет

◄

Типовой пример

Методом характеристического уравнения найти общее решение системы

►Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

Для составляем систему:

Пусть тогдаи

Для :

.

Пусть , тогдаи.

Общим решением исходной системы будет вектор-функция

или в координатной форме:

.◄

Типовой пример

Решить задачу Коши для системы с начальными условиями

►Матричная форма системы такова:

Составим характеристическое уравнение:

его корни будут собственными числами матрицы системы.

Для каждого из собственных векторов получается пара пропорциональных (и даже одинаковых!) уравнений:

(1)

откуда переобозначив множительзаС₁;

(2)

откуда

Общее решение системы получаем в виде вектора

или в обычной форме:

При t = 0 получим: Складывая уравнения, получаемСледовательно, решение задачи Коши

Типовой пример

Методом исключения найти общее решение системы

►Первое уравнение продифференцируем по :.

Из второго уравнения подставим в полученное выражение

:

Из первого выразим и подставим его в последнее уравнение:

Окончательно получим: .

Решаем это уравнение: ;;

, откуда

, .

Из выражения для получим

.

Таким образом, общее решение системы имеет вид . ◄

Пример

Пусть национальный доход возрастает со скоростью, пропорциональной его величине:

,

и пусть, кроме того, дефицит в расходах правительства прямо пропорционален доходу (при коэффициенте пропорциональности). Дефицит в расходах приводит к возрастанию национального долга:

.

Здесь мы считаем переменные инепрерывными и дифференцируемыми функциями времени. Имеем систему дифференциальных уравнений

.

Пусть начальные условия имеют вид и при. Из первого уравнения мы получаем, учитывая начальные условия,. Подставляяво второе уравнение, получаем^.Общее решение этого уравнения имеет вид, где=const, которую мы определим из начальных условий. Подставляя начальные условия в полученное решение, мы получаем.

Итак, окончательно , то есть национальный долг возрастает с той же относительной скоростью, что и национальный доход.