3. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела Основные формулы

• Импульс материальной точ­ки:

,

где -масса материальной точки, - скорость движения.

• Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной точки):

• Это же уравнение в проекциях на касательную и нор­маль к траектории движения точки:

,

где – тангенциальное (касательное) ускорение,

– нормальное (центростремительное) ускорение.

• Сила трения скольжения:

где – коэффициент трения скольжения; – сила нормального давления.

• Сила упругости:

,

где - величина деформации; - коэффициент жесткости.

• Сила гравитационного притяжения двух материальных точек:

,

где – гравитационная постоянная, и – массы взаимодействующих точек, – расстояние между точками.

• Закон сохранения импульса для замкнутой системы:

где - число материальных точек (или тел), входящих в систему.

• Работа, совершаемая телом

,

где — проекция силы на направление перемещения; — угол между направлениями силы и перемещения.

• Работа, совершаемая переменной силой, на пути :

• Средняя мощность за промежуток времени :

,

где – работа за промежуток времени .

• Мгновенная мощность:

, или .

• Кинетическая энергия движущегося со скоростью тела массой :

.

• Потенциальная энергия тела массой , поднятого над поверхностью земли на высоту :

,

где – ускорение свободного падения.

• Потенциальная энергия упруго деформированного тела:

.

• Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия:

.

• Закон сохранения механической энергии (для консервативной системы):

.

Примеры решения задач

Задача 1. На шнуре, перекинутом через неподвижный блок, подвешены грузы массами и (). Считаем нить и блок невесомыми и пренебрегаем трением в блоке. С каким ускорением движутся грузы? Какова сила натяжения шнура во время движения?

Дано: Решение:

,; ().	Делаем рисунок, расставляем силы, действующие на каждое тело: Рис.2.1

Записываем второй закон Ньютона для каждого тела в векторной форме:

Поскольку , считаем, что тело массой движется вниз, а тело массой - вверх. Ось совпадает с направлением ускорения. Записываем второй закон Ньютона для каждого тела в проекции на направление оси :

Складывая почленно эти уравнения, получаем:

.

Подставляя это выражение в одно из уравнений системы, получаем выражение для силы натяжения:

.

Задача 2. В установке (см. рис.2.2) угол наклонной плоскости с горизонтом , массы тели. Считая нить и блок невесомыми, определите ускорение, с которым движутся тела, и силу натяжения нити, если телоопускается. Коэффициент трения телао плоскость равен 0,1.

Дано: Решение:

; ; ; .	 Делаем рисунок, расставляем силы, действующие на каждое тело: Рис.2.2
Записываем второй закон Ньютона для каждого тела в векторной форме:

Для каждого тела устанавливаем оси координат и записываем второй закон Ньютона для каждого тела в проекциях на направления и :

.

Учитывая, что , получаем систему:

Складываем почленно эти уравнения:

.

Отсюда получаем выражение для ускорения:

.

Подставляем числа:

.

Из уравнения 2) выражаем силу натяжения: .

Подставляем числа: .

Ответ: ;.

Задача 3. Движущееся тело массой ударяется о неподвижное тело массой . Считая удар упругим и центральным, определите, какую часть своей первоначальной кинетической энергии первое тело передает второму при ударе. Задачу решите сначала в общем виде, а затем рассмотрите случаи: 1) ; 2) .

Дано: ,, ,; 1); 2).	Решение: Пусть скорость первого тела до удара . Скорость второго тела до удара . Кинетическая энергия первого тела до удара . Предположим, что скорость второго тела после удара равна . Тогда кинетическая энергия второго тела после удара , а отношение энергий
- ?

. (1)

Для определения скорости второго тела после удара запишем закон сохранения импульса в проекции на направление движения и закон сохранения механической энергии, полагая, что система тел замкнута и в ней действуют только консервативные силы.

(2)

Преобразуем систему (2) к виду

(3)

Разделив одно на другое выражения системы (3), получим , а после подстановки скорости в первую формулу системы (3) получим

. (4)

Отношение энергий (1) приобретает вид

.

1) Если , то =1. При равенстве масс первое тело полностью отдает энергию второму, т.е. первое тело остановится, а второе начнет двигаться со скоростью первого тела.

2) Если , то .

Ответ: 1) =1; 2) .