4. Вращательное движение твердых тел Основные формулы

• Момент инерции материальной точки:

где — масса точки; — расстояние до оси вращения.

• Момент инерции механической системы (тела) относительно неподвижной оси:

где - расстояние материальной точки массой до оси вращения; в случае непрерывного распределения масс:

• Моменты инерции тел правильной геометрической формы (тела считаются однородными; — масса тела):

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Обруч или полый тонкостенный цилиндр радиусом	Ось симметрии проходит через центр цилиндра
Сплошной цилиндр или диск радиусом	Ось симметрии проходит через центр цилиндра (диска)
Прямой тонкий стержень длиной	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
Прямой тонкий стержень длиной	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
Шар радиусом	Ось проходит через центр шара

• Теорема Штейнера:

где – момент инерции тела относительно оси, прохо­дящей через центр масс; – момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии - масса тела.

• Момент силы относительно неподвижной точки:

где – радиус-вектор, проведенный из этой точки в точ­ку приложения силы . Модуль момента силы относительно неподвижной оси:

где - плечо силы (кратчайшее расстояние между ли­нией действия силы и осью вращения).

• Основной закон динамики вращательного дви­жения твердого тела:

где - момент сил, приложенных к телу; момент инерции тела относительно оси вращения; - угловая скорость тела.

• Уравнение (закон) динамики вращательного дви­жения твердого тела относительно неподвижной оси:

где - угловое ускорение; - момент инерции тела относительно оси z.

• Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси вращения:

где - расстояние от оси до отдельной частицы тела; - импульс этой частицы; - момент инерции те­ла относительно оси ; - его угловая скорость.

• Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы:

• Работа при вращательном движении тела:

где - угол поворота тела; - момент силы относи­тельно оси .

• Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси :

где – момент инерции тела относительно оси ; - его угловая скорость.

• Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения:

где – масса тела; - скорость центра масс тела; – момент инерции тела относительно оси, проходя­щей через его центр масс; – угловая скорость тела.

• Связь работы и кинетической энергии тела при вращательном движении:

,

где момент инерции тела относительно оси вращения; угловая скорость тела в конечном состоянии; угловая скорость тела в начальном состоянии.

Примеры решения задач

Задача 1. Найдите момент инерции шара радиусом относительно оси , находящейся на расстоянии от поверхности шара (рис.3.1).

Дано: ,	Решение: Записываем теорему Штейнера:
	где ,

- момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр масс; - расстояние между осями. Получаем: .

Рис.3.1

Задача 2. На шнуре, перекинутом через блок в виде однородного цилиндра массой подвешены грузы массами и . Считаем нить невесомой и пренебрегаем трением в блоке. С каким ускорением движутся грузы? Каковы силы натяжения шнура, действующие на грузы во время движения?

Дано: Решение:

; ; .	Делаем рисунок, расставляем силы, дейстующие на каждое тело и на блок (рис. 3.2): Рис.3.2 1

Записываем второй закон Ньютона для каждого тела в векторной и скалярной форме:

(1)

Для блока записываем основное уравнение динамики вращательного движения в векторной и скалярной форме:

, (2)

где - момент сил, - момент инерции блока; - угловое ускорение блока. Подставляя эти выражения в (2), получаем:

, т.е. . (3)

Решая совместно уравнения (1) и (3), получаем:

. Отсюда:

,

, .

Подставляем числа: ,

,

.

Ответ: ,,.

Задача 3. Шар и обруч одинаковой массы и радиуса, изготовленные из одного и того же материала, катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии обруча?

Дано: Решение:

	Кинетическая энергия тела, катящегося по поверхности, складывается из кинетической энергии вращательного движения и поступательного движения центра масс:

. (1)

Моменты инерции относительно центра масс обруча (2) и шара(3). Связь линейной и угловой скорости -(4). Подставляя (2), (3) и (4) в (1), получаем:

- для обруча,

- для шара.

Ответ: в 1,4 раза.