3. Вращательное движение твердых тел Основные формулы и законы

• Момент инерции материальной точки

где — масса точки; — расстояние до оси вращения.

• Момент инерции механической системы (тела) относительно неподвижной оси

где - расстояние материальной точки массой до оси вращения; в случае непрерывного распределения масс

• Моменты инерции тел правильной геометрической формы (тела считаются однородными; — масса тела):

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Обруч или полый тонкостенный цилиндр радиусом	Ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиусом	Ось симметрии
Прямой тонкий стержень длиной	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
Прямой тонкий стержень длиной	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
Шар радиусом	Ось проходит через центр шара

• Теорема Штейнера

где - момент инерции тела относительно оси, прохо­дящей через центр масс; - момент инерции относи­тельно параллельной оси, отстоящей от первой на рас­стоянии - масса тела.

• Момент силы относительно неподвижной точки

где - радиус-вектор, проведенный из этой точки в точ­ку приложения силы . Модуль момента силы относительно неподвижной оси

где - плечо силы (кратчайшее расстояние между ли­нией действия силы и осью вращения).

• Основной закон динамики вращательного дви­жения твердого тела

где - момент сил, приложенных к телу; момент инерции тела относительно оси вращения; - угловая скорость тела.

• Уравнение (закон) динамики вращательного дви­жения твердого тела относительно неподвижной оси

где - угловое ускорение; - момент инерции тела относительно оси z.

• Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси вращения

где - расстояние от оси до отдельной частицы тела; - импульс этой частицы; - момент инерции те­ла относительно оси ; - его угловая скорость.

• Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы

• Работа при вращательном движении тела

где - угол поворота тела; - момент силы относи­тельно оси .

• Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

где - момент инерции тела относительно оси ; - его угловая скорость.

• Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,

где - масса тела; - скорость центра масс тела; - момент инерции тела относительно оси, проходя­щей через его центр масс; - угловая скорость тела.

• Связь работы и кинетической энергии тела при вращательном движении

,

где момент инерции тела относительно оси вращения; угловая скорость тела в конечном состоянии; угловая скорость тела в начальном состоянии.