Б) Мультипликативная регрессионная модель

.

Прологарифмируем левую и правую части данного уравнения:

.

Обозначим:

.

Получим:

.

То есть вновь осуществлен переход к линейной множественной модели.

Далее используется метод наименьших квадратов. Строится система нормальных уравнений, и определяются значения . Потенцируя выражение , найдем значение параметраи общий вид уравнения мультипликативной модели.

В) Обратная регрессионная модель

.

Сделаем замену: . И перейдем к линейной множественной модели:

.

Г) Экспоненциальная модель

.

Прологарифмируем левую и правую части уравнения:

.

Выполним замену  и получим:

.

Далее пользуемся выражением для линейной множественной модели.

6. Выбор оптимальной модели идентификации

Принцип наименьших квадратов позволяет найти наилучшую модель идентификации для описания исследуемой экспериментальной выборки заданным уравнением регрессии. Если имеются достаточно веские основания для выборки формы этого уравнения, то никаких проблем не возникает. Однако в большинстве случаев при исследовании конкретная форма модели заранее неизвестна.

На первый взгляд может показаться, что более сложная модель (увеличении степени полинома) всегда обеспечивает получение большей точности. На самом деле это не так. Дело в том, что экспериментальные данные представляют собой случайные величины и содержат лишь ограниченную информацию о характере . Увеличение степени полинома целесообразно лишь до тех пор, пока из экспериментальной выборки извлекается надежная информация. С другой стороны, увеличение степени полинома при заданном объеме экспериментальной выборки приводит к сокращению числа степеней свободы. Таким образом, возникает проблема оптимального выбора формы модели.

В настоящее время имеются несколько подходов к решению этой проблемы.

А) метод группового учета аргументов (мгуа)

В МГУА можно выделить два направления: комбинаторные и селективные.

Комбинаторный алгоритм основан на последовательном изучении всевозможных моделей. При этом все модели разбиваются на серии в зависимости от числа введенных переменных (в табл.2 представлено несколько первых серий таких моделей). Для каждой из серий отбирается лучшая модель, причем в качестве критерия используется так называемый множественный коэффициент детерминации:

,

характеризующий полноту использования информации в регрессионной модели . Лучшей модели соответствует большее значениеR. Лучшие модели серий сравниваются между собой.

Таблица 2.2

Полиномы серий

1-й	2-й	3-й
Количество полиномов

В селективном алгоритме на первом шаге осуществляют перебор возможных функциональных описаний объекта.

При этом полное описание объекта , гдеf – некоторая функция, например степенной полином, заменяется рядом описаний:

1-й ряд селекции –

.

Затем по некоторому критерию

из них отбирается подмножество из V наиболее значимых частных описаний, которые в следующем ряду алгоритма играют роль входных переменных и так до тех пор, пока улучшается качество модели.