Статистическая обработка результатов пфэ

Предположим, что общий вид плана и результаты параллельных экспериментов приведены в табл.2.6.

Таблица 2.6

Номер эксперимента				Результат отклика в параллельных опытах
				1		r
1	-		-
2	-		+
n	+		+

Рассмотрим последовательность статистической обработки и проверки адекватности построенной модели.

1. Определяются среднее значение и дисперсияотклика вi –м эксперименте (строке) по формулам

(2.18)

. (2.19)

где -значение отклика в i-м эксперименте (строке) j-й серии

экспериментов;

- число параллельных экспериментов.

2. Выполняется проверка однородности дисперсий . Для этого определяется расчетное значение критерия Кохрена по формуле

. (2.20)

С критерием связаны степени свободы: для числителя, для знаменателя.

Проверяется условие

, (2.21)

где критическое (табличное) значение критерия Кохрена, найденное для заданной доверительной вероятностипри числе степеней свободы.

Если условие (2.21) выполняется, то дисперсии однородны и статистическая обработка продолжается. Если не выполняется, то дисперсии неоднородны. В этом случае требуются повторить эксперимент, изменив условия его проведения (набор факторов, интервал их варьирования, точность измерительных приборов и пр.).

3. Определяется оценка дисперсии воспроизводимости экспериментов определяется по формуле

. (2.22)

с ней связано число степеней свободы .

4. Определяются коэффициенты уравнения регрессии

(2.23)

где

- кодированное значение -го фактора в-м эксперименте (строке)

матрицы плана;

- кодированное значение -го и-го факторов в-м эксперименте

(строке) матрицы плана;

- кодированное значение -го,-го и-го факторов в-м

эксперименте (строке) матрицы плана.

5. Выполняется проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Для выполнения проверки нужно построить доверительный интервал , соответствующий доверительной вероятности, для каждого из коэффициента.

, (2.24)

где - коэффициент, рассчитанный по формуле (2.23);

- возможная ошибка, возникающая от замены истинного значения

коэффициента его оценкой.

Ошибка полагается одинаковой для всех коэффициентов:

, (2.25)

где - табличное значение критерия Стьюдента при доверительной

вероятности и числе степеней свободы, с которым

определялась дисперсия .

Коэффициент (его расчетное значение) значим, если построенный доверительный интервал не содержит точку . В данном случае это равносильно условию.

Если интервал содержит точку, или, что, то же самое, то коэффициентс доверительной вероятностьюне значим, так как отличным от нуля он мог оказаться за счет погрешностей эксперимента.

6. Принимая во внимание только значимые коэффициенты, записывается полином вида (2.15).

Выполняется проверка адекватности модели и делается заключение о ее пригодности для практики. Для этого вначале подсчитывается дисперсия, характеризующая ошибку модели

(2.26)

где - разность между рассчитанным по полученной модели и экспериментальным значениямиy в - й строке (эксперименте);

- значение отклика по построенной модели в - й строке

(эксперименте);

- число степеней свободы модели;

- число экспериментальных точек;

- количество значимых коэффициентов модели в уравнении

регрессии, кроме коэффициента .

Затем определяется расчетное значение критерия Фишера

. (2.27)

С критерием Фишера связанны степени свободы: для числителя ; для знаменателя .

Проверяется условие

, (2.28)

где - табличное (критическое) значение критерия Фишера, найденное для заданной доверительной вероятностипри числе степеней свободы.

Если условие (2.28) выполняется, то построенная модель адекватна эксперименту.

При невыполнении условия (2.28) модель неадекватна и пользоваться на практике ей нельзя.

Для лучшего понимания алгоритма статистической обработки ниже рассмотрим пример.

Пример.

Для исследования выходного параметра технологического процесса при числе параметров k=2 был спланирован ПФЭ и выполнено три серии параллельных экспериментов. Использовались следующие значения нулевых уровней. Результаты эксперимента представлены в табл.2.7.

Таблица 2.7

Номер эксперимента				Результат отклика в параллельных опытах
				1	2	3
1	-	-	-	8	7	9	8	1
2	-	+	+	20	22	18	20	4
3	+	-	-	17	16	15	16	1
4	+	+	+	30	34	32	32	4

Требуется построить модель, описывающую выходной параметр технологического процесса, проверить ее адекватность.

Эксперимент проводится при двух значениях фактора

Для облегчения расчетов удобно провести нормировку факторов с помощью преобразований

(2.29)

По формулам (2.18) и (2.19) посчитываем среднее значение и дисперсии в каждом эксперименте матрицы

.

Результаты расчета величин ивнесены в табл.2.6. Применяя критерий Кохрена, нетрудно убедиться, что опыты воспроизводимы, т.к.

.

По формуле (2.22) находим дисперсию воспроизводимости опытов

.

Используя формулы (2.23) определим коэффициенты уравнения регрессии

Проверяем значимость коэффициентов. По таблицам распределения критерия Стьюдента при и числе степеней свободы

находим .

Определяем по формуле (2.25)

.

Так как выполняются условия

,

то коэффициенты значимы, а коэффициентнезначим, так как для него условиене выполняется.

Линейная модель запишется в виде

. (2.30)

Проверим адекватность этой модели. По формуле (2.26) подсчитаем дисперсию, характеризующую ошибку модели. Для получения значений , используемых в формуле (2.26), в записанную модель (2.30) подставляем кодированные значения факторовсогласно матрице плана (табл.2.6). Например, для первого эксперимента (строки) матрицы имеем:

.

Аналогично находим

Используя формулу (2.26) определяем дисперсию, характеризующую ошибку модели

Расчетное значение критерия Фишера находим по выражению (2.27)

.

По таблице критерия Фишера для доверительной вероятности

по значениям числа степеней свободы и находим.

Так как условие (1,6<5,32), то линейная модель вида (2.30) адекватна результатам эксперимента и ею можно пользоваться на практике.

Осуществим переход к размерному полиному, используя соотношение (2.29), значения нулевых уровней и интервалов варьирования факторами и.

Получаем

.

Методика использования полного факторного эксперимента показана на примере выполнения лабораторной работы 2.