Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Вернемся теперь к требованию, что в результате пространственной инверсии поле ψ(x) должно переходить в нечто, пропорциональное ψ(Px). Чтобы это было возможным, фазы в формулах (5.5.15) и (5.5.16)

должны быть равны друг другу, откуда внутренние четности частиц и их античастиц должны быть связаны соотношением:

Иными словами, внутренняя четность ηηc системы, состоящей

из частицы со спином 1/2 и ее античастицы, равна –1. Именно по этой причине мезоны с отрицательной внутренней четностью, такие как ρ0 è J/ψ, можно интерпретировать как s-волновые связан-

ные состояния кварк-антикварковых пар. Из формул (5.5.15) и (5.5.16) находим закон преобразования дираковского поля в результате пространственной инверсии:

Прежде чем переходить к другим инверсиям, уместно заметить, что формулы (5.5.14), (5.5.33) и (5.5.26) показывают, что u(p,s) и v(p,s) являются собственными векторами оператора −ipμ γ μ / m ñ

собственными значениями +1 и –1, соответственно:

Отсюда вытекает, что поле (5.5.33) удовлетворяет дифференциальному уравнению

Это знаменитое уравнение Дирака для свободной частицы со спином 1/2. С принятой здесь точки зрения, уравнение Дирака для свободной частицы есть не что иное, как лоренц–инвариантная запись использованного нами условия, чтобы объединение двух неприводимых представлений собственной ортохронной группы Лоренца давало поле, простым образом преобразующееся при пространственной инверсии.

Чтобы установить свойства дираковского поля по отношению к преобразованиям зарядового сопряжения и обращения времени,

нам нужны выражения для комплексно сопряженных коэффициентных функций u и v. При нулевом импульсе эти функции действительны, но чтобы получить коэффициентные функции при конечном импульсе, мы должны умножить их на комплексную матрицу D(L(p)). Из формулы (5.4.41) следует, что для произвольных действительных ωμν

[exp(21 iJ μνωμν )]* = βC exp(21 iJ μνωμν)C −1β,

так что, в частности,

D(L(p))* = βCD(L(p))C −1β.

Заметим также, что C–1βu(0,σ) = –v(0,σ) è C–1βv(0,σ) = –u(0,σ), òàê

÷òî

Для того, чтобы поле, получающееся при зарядовом сопряжении, коммутировало бы с исходным полем на пространственноподобных расстояниях, нужно, чтобы зарядовые четности частицы и анти- частицы были бы связаны соотношением

В этом случае поле преобразуется по правилу

(Мы обозначаем эрмитово сопряженное поле в правой части ψ*, à íå ψ†, с тем чтобы подчеркнуть, что это все еще вектор-столбец, а

не строка.)

Мы все время различали частицы и их античастицы, но не исключена возможность, что они на самом деле тождественны. Подобные частицы со спином 1/2 называются майорановскими фермионами. Рассуждая по той же схеме, которая привела

к (5.5.47), получаем, что дираковское поле такой частицы должно удовлетворять условию действительности:

Внутренняя пространственная четность майорановских фермионов должна быть мнимой, η = ±i, а четность относительно зарядового сопряжения — действительной, ξ = ±1.

Существует важное различие между фермионами и бозонами, касающееся внутренней фазы, возникающей при зарядовом сопряжении состояний системы, состоящей из частицы и ее античастицы. Такое состояние имеет вид

Φ≡ å z d3pz d3p′χ(p, σ; p′, σ′)a† (p, σ)ac† (p′, σ′)Φ0 ,

σ,σ′

ãäå Φ0 — вакуумное состояние. При зарядовом сопряжении такое

состояние преобразуется в

CΦ ≡ ξ*ξc* å z d3pz d3p′χ(p, σ; p′, σ′)ac† (p, σ)a† (p′, σ′)Φ0 .

σ,σ′

Меняя местами переменные интегрирования и суммирования и используя соотношения антикоммутации операторов рождения и формулу (5.5.46), можно переписать последнее выражение как

CΦ ≡ − å z d3pz d3p′χ(p′, σ′; p, σ)a† (p, σ)ac† (p′, σ′)Φ0 .

σ,σ′

Отсюда находим, что внутренняя зарядовая четность системы, состоящей из частицы, описываемой дираковским полем, и ее античастицы, равна –1. Это означает следующее: если волновая функция χ состояния четна или нечетна по отношению к перестанов-

ке импульсов и спинов частицы и античастицы, то оператор зарядового сопряжения при действии на такое состояние дает соответственно –1 или +1. Классическим примером использования этих правил является позитроний, связанное состояние электрона и позитрона. Два низших энергетических состояния являются почти вырожденными s-волновыми состояниями с полным спином s = 0 и s = 1.

Их называют соответственно пара- и ортопозитронием. Волновая функция обоих состояний четна по отношению к перестановке импульсов, и нечетна или четна при перестановке z-компонент спина, так что парапозитронийÑ и ортопозитроний имеют зарядовую четность C = +1 и = –1, соответственно. Такие значения решающим

образом влияют на возможные моды распада позитрония: парапозитроний быстро распадается на пару фотонов (у каждого из которых C = –1), а ортопозитроний может только значительно медленнее

распадаться на три или более фотонов. Точно так же, одиночные мезоны ρ0 è ω0 рождаются как резонансы при аннигиляции электрон-

позитронных пар больших энергий через однофотонное промежуточÑ - ное состояние, так что у этих мезонов должно быть = –1. Это совместимо с интерпретацией таких мезонов как кварк-антикварко- вых связанных состояний с нулевым орбитальным моментом и суммарным спином кварков, равным единице.

Перейдем, наконец, к обращению времени. Напомним свойства преобразований операторов уничтожения частиц и рождения античастиц (формула (4.2.15)):

Тогда при обращении времени поле (5.5.34) преобразуется как

Tψl (x)T-1 = (2π)-3/2 ås z d3p(−1)1/2-s

× [ζ* ul* (p, σ)e-ip×xa(−p,−σ) + ζcvl* (p, σ)eip×xac† (−p,−σ)].

Чтобы записать это выражение в такой же форме как ψ, следует заменить переменные интегрирования и суммирования на –р и –σ,

так что нам нужны формулы, связывающие ul*(–p,–s) è vl*(–p,–s) ñ ul(p,s) è vl(p,s), соответственно. Для этого можно использовать то, что J i0 антикоммутирует с β и коммутирует с γ5. С учетом предыду-

щего выражения для D(L(p))* можно записать:

D* (L(−p)) = γ 5βD* (L(p))βγ 5 = γ 5CD(L(p))C −1γ 5 .

Далее, из формул (5.4.36) и (5.5.35)–(5.5.36) следует

γ5C −1u(0,−σ) = (−1)1/2−σ u(0, σ),

γ5C −1v(0,−σ) = (−1)1/2−σ v(0, σ),

òàê ÷òî

Итак, чтобы операция обращения времени перевела дираковское поле в нечто, пропорциональное самому себе в обращенной по времени точке (причем чтобы эти поля антикоммутировали на пространственноподобных расстояниях), необходимо, чтобы внутренние фазовые множители, возникающие при обращении времени, были связаны соотношением

В этом случае

Рассмотрим вопрос о том, как построить скалярные плотности гамильтониана взаимодействия из дираковских полей и сопряженных им полей. Как отмечалось, дираковское представление не унитарно, так что ψ†ψ не является скаляром. Чтобы обойти эту

трудность, удобно определить новый тип сопряженной величины:

Используя условие псевдоунитарности (5.4.32), видим, что фермионные билинейные комбинации, построенные с помощью ψ , ïîä

действием преобразований Лоренца изменяются по закону

U0 (Λ)[ψ(x)Mψ(x)]U0−1(Λ) = ψ(Λx)D−1(Λ)MD(Λ)ψ(Λx). (5.5.56)

304 Глава 5. Квантовые поля и античастицы

Кроме того, при пространственной инверсии

комбинации ψMψ , преобразующиеся как скаляр, вектор, тензор,

аксиальный вектор и псевдоскаляр, соответственно. (Слово «аксиальный» и приставка «псевдо» означают, что эти комбинации преобразуются по отношению к пространственным отражениям противоположно тому, как преобразуются векторы и скаляры: четность псевдоскаляра отрицательна, а пространственные и временная компоненты аксиального вектора имеют, соответственно, положительную и отрицательную четности.) Эти результаты сохраняются, если два фермионных поля в билинейной комбинации принадлежат частицам разных сортов, не считая того, что в этом случае возникает отношение внутренних четностей.

Например, в первоначальной теории β-распада Ферми рас-

сматривалась плотность гамильтониана взаимодействия, пропорциональная ψpγ μ ψ nψeγ μ ψ ν . Позднее стало понятно, что наиболее

общее лоренц-инвариантное, сохраняющее четность и не содержащее производных взаимодействие в β-распаде имеет вид линейной комбинации произведений указанного вида, в которых γμ заменено на любой из пяти ковариантов, образованных с помощью 4 × 4 матриц 1, γμ, J μν, γ5γμ, èëè γ5. (Как обсуждалось в гл. 2, оператор

пространственной инверсии определен так, что внутренняя четность протона, нейтрона и электрона равна +1. Если нейтрино не имеет массы, то его четность также можно принять равным +1, заменив при необходимости поле нейтрино на γ5ψν.) Когда в

1956 году Ли и Янг усомнились в справедливости закона сохранения четности, они расширили список возможных взаимодействий без производных, включив в него десять слагаемых, пропорциональ-

íûõ ψ pMψ nψ eMψ ν , а также ψ pMψ nψ eMγ 5ψ ν , где М — одна из матриц 1, γμ, J μν, γ5γμ, γ5. Определенный интерес представляют

свойства этих билинейных комбинаций по отношению к зарядовому сопряжению. Используя формулы (5.5.47) и (5.5.35)–(5.5.39), имеем:

C(ψMψ)C−1 = (βCψ)TβM(βCψ* ) = −(βCψ* )T MTCψ

= ψC −1MTCψ = ±ψMψ, (5.5.58)

где i, j, k принимают значения 1,2,3, а εijk − полностью антисимметричная величина с ε123 ≡ +1. Формула (5.6.4) указывает на то, что

матрицы J являются генераторами представления подгруппы вращений группы Лоренца, а формула (5.6.5) отражает тот факт, что K есть 3-вектор. Знак «минус» в правой части формулы (5.6.6) возникает из-за того, что η00 = −1. Этот знак играет в дальнейшем

решающую роль.

Очень удобно заменить матрицы J и K двумя независимыми

Легко видеть, что коммутационные соотношения (5.6.4)−(5.6.6) ýêâè-

валентны равенствам

Матрицы, удовлетворяющие соотношениям (5.6.9)−(5.6.11), можно

найти так же, как это было сделано для матриц, представляющих спины пары невзаимодействующих частиц, т. е. в виде прямой суммы. Иначе говоря, отметим строки и столбцы этих матриц парой целых и/или полуцелых чисел a, b, пробегающих ряд значений

(аналогично для J(B)). Представление отмечается значениями положительных целых или полуцелых чисел А и В. Таким образом, представление (А, В) имеет размерность (2А + 1)(2В + 1) *.

Конечномерные представления однородной группы Лоренца не унитарны, т. к. А и В эрмитовы, и поэтому J эрмитова, но K антиэрмитова. Причиной является присутствие i в формулах (5.6.7) и (5.6.8), что требуется наличием отрицательного знака в (5.6.6). Все это вытекает из того, что однородная группа Лоренца — не четырехмерная группа вращений SO(4), которая компактна, а некомпактная группа SO(3, 1). Только компактные группы имеют конеч- номерные унитарные представления (если не считать представлений, в которых некомпактная часть представлена тривиальной единицей). Однако при работе с неунитарными представлениями не возникает особых проблем, т. к. нас интересуют не волновые функции, а поля, которые не обязаны иметь лоренц-инвариантную положительную норму.

* Существует альтернативный формализм 8, основанный на том факте, что представление группы вращений со спином j можно записать как симметризованное тензорное произведение 2j представлений со спином 1/2, т. е. как симметричный тензор группы SU(2) с 2j двузначными индексами. Поэтому можно записать поля, принадлежащие представлению (А, В), с помощью 2А двузначных индексов представления (1/2,0) и 2В двузначных индексов представления (0,1/2), снабженных точками, чтобы отличать их от первой пары.

Напротив, группа вращений имеет унитарные представления, генераторы которых являются эрмитовыми матрицами

С помощью обычных правил сложения векторов можно убедиться, что поле, преобразующееся по представлению (А, В) однородной группы Лоренца, имеет компоненты, преобразующиеся при вращениях как объекты со спином j, причем

j = A + B, A + B – 1, ..., |A – B| .

Этого достаточно, чтобы отождествить представления (А, В) с, по-видимому, более знакомыми тензорами и спинорами. Например, поле (0,1 0) является1 скаляром с единственной1 компонентой j = 0. Поля ( , 0) или (0, ) могут иметь только j = ; они соответствуют двум верхним (т. е. γ5 = +1) è äâóì1 1 нижним (γ5 = –1) компонен-

там дираковского спинора. Поле ( , ) имеет компоненты с j = 1 и j = 0, соответствующие пространственной части v и временной компоненте v0 4-вектора vμ. В общем случае поле (А, А) содержит слагаемые только с целыми спинами 2А, 2А−1, ..., 0, и соответству-

ет бесследовому симметричному тензору ранга 2А. (Заметим, что число независимых компонент симметричного тензора ранга 2А в четырех измерениях равно

как и следует ожидать для поля (А, А).) Еще один пример: поля (1, 0) и (0, 1) могут иметь только компоненты j = 1 и соответствуют антисимметричным тензорам Fμν, удовлетворяющим дополнитель-

ным, обеспечивающим неприводимость, условиям «дуальности»

Fμν = ± 2i εμνλρFλρ