Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

но, мы учитываем спаривание поля уничтожения ψ−†(y) в H (y) с полем рождения ψ−(x) в H (x), только если H(y) изначально находится левее H (x), т. е. если y0 > x0. (Çíàê ± во втором слагаемом в

(6.1.14) будет объяснен чуть ниже.) Выражение (6.1.14) называется пропагатором и вычисляется в следующем разделе.

S-матрица получается путем перемножения всех этих множителей с учетом дополнительных численных множителей, обсуждаемых ниже, затем интегрирования по x1 . . . xN, суммирования по всем спариваниям и затем по числу взаимодействий каждого типа.

Прежде чем погружаться в детали, удобно описать диаграммный формализм, позволяющий проследить за всеми этими спариваниями.

Правила вычисления S-матрицы удобно сформулировать на языке фейнмановских диаграмм (рис. 6.1). Диаграмма содержит точки, называемые вершинами, причем каждая вершина соответствует одному из операторов Hi(x), и линии, каждая из которых соответствует спариванию операторов рождения и уничтожения. Сформулируем правила более подробно.

а) Спаривание конечной частицы с сопряженным полем в одном из операторов H (x) изображается линией, идущей вверх из вершины, соответствующей данному H (x), и имеющей стрелку, направленную вверх.

б) Спаривание конечной античастицы с полем в одном из операторов H (x) также изображается линией, идущей вверх из вершины, соответствующей данному H (x), но со стрелкой, направленной вниз. (Для частиц типа γ è π0, совпадающих со своими

античастицами, стрелки на линиях не указываются.)

в) Спаривание начальной частицы с полем в одном из операторов H (x) изображается линией, входящей снизу в вершину, соответствующую данному H (x), и имеющей стрелку, направленную вверх.

г) Спаривание начальной античастицы с полем в одном из операторов H (x) также изображается линией, входящей снизу в вершину, соответствующую данному H (x), но имеющей стрелку, направленную вниз.

д) Спаривание конечной частицы или античастицы с начальной частицей или античастицей представляется не связанной ни с какими вершинами линией, проходящей снизу вверх через всю диаграмму, со стрелкой направленной вверх или вниз для частиц и античастиц, соответственно.

е) Спаривание поля в H (x) с сопряженным полем в H (y) представляется линией, соединяющей вершины H (x) и H (y), и имеющей стрелку, направленную от y к x.

Обратим внимание, что стрелки всегда указывают направление движения частицы, и противоположны направлению движения античастицы. (Как отмечено выше, для частиц типа фотона, совпадающих со своими античастицами, стрелки следует опустить.) Направление стрелки в правиле е) совместимо с этим соглашением, так как сопряженное поле в Hj(y) может либо рождать частицу, уничтожаемую полем в Hi(x), либо уничтожать античастицу, рождаемую этим полем. Заметим также, что поскольку каждое поле или сопряженное поле в Hi(x) должно с чем-нибудь спариться, полное число линий в вершине типа i, соответствующей слагаемому Hi(x) в (6.1.2), в точности равно полному числу полей или сопряженных полей в Hi(x). При этом число линий со стрелками, направленными в вершину или из нее, равно, соответственно, числу полей или сопряженных полей в соответствующем члене взаимодействия.

Чтобы вычислить вклад в S-матрицу данного процесса

âданном порядке Ni по каждому из членов взаимодействия Hi(x)

â(6.1.2), нужно проделать следующие операции.

1.Следует нарисовать все фейнмановские диаграммы, содер-

жащие Ni вершин каждого типа i. Эти диаграммы должны иметь линии, входящие в них снизу, и отвечающие каждой частице и

античастице в начальном состоянии, линии, выходящие вверх и отвечающие каждой частице или античастице в конечном состоянии, и такое число соединяющих вершины внутренних линий, чтобы к каждой вершине подсоединялось нужное число линий. Стрелки на линиях выбираются по указанным выше правилам в направлении либо вверх, либо вниз. Каждая вершина помечается индексом типа взаимодействия i и пространственно-временной координатой xμ. Каждая внутренняя или внешняя линия помечается

на том конце, который соединен с вершиной, индексом типа поля l (что соответствует полям ψl(x) èëè ψl†(x), рождающим или уничто-

жающим частицу или античастицу в этой вершине). Кроме того, каждая внешняя линия помечается на конце, откуда она входит в диаграмму или выходит из нее, квантовыми числами p, σ, n èëè p′, σ′, n′ начальной или конечной частицы (или античастицы).

2. Каждой вершине типа i следует сопоставить множитель −i (он возникает из множителя (−i)N в (6.1.1)) и множитель gi

(константа связи, на которую умножается произведение полей в Hi(x)).* Каждой линии, выходящей вверх из диаграммы, сопоставляется множитель (6.9.9) или (6.9.10) в зависимости от направления стрелки на линии. Аналогично, каждой линии, входящей в диаграмму снизу, сопоставляется множитель (6.1.11) или (6.1.12), опять же, в зависимости от направления стрелки. Каждой линии, проходящей снизу вверх насквозь через диаграмму. сопоставляется множитель (6.1.13). Наконец, каждой внутренней линии, соединяющей две вершины, сопоставляется множитель (6.1.14).

3.Следует произвести интегрирование произведения всех этих множителей по координатам x1, x2, . . . всех вершин.

4.Результаты, полученные таким образом для каждой фейнмановской диаграммы, следует сложить. Полное выражение ряда теории возмущений для S-матрицы получается сложением вкладов от каждого порядка теории возмущений по каждому из типов взаимодействий (реально мы ограничиваемся тем порядком, который в состоянии вычислить в данный момент).

Заметим, что мы не включили в эти правила множитель 1/N!

из (6.1.1), так как хронологически упорядоченное произведение в (6.1.1) является суммой по N! перестановкам координат x1x2 . . .xN, дающим одинаковый вклад в окончательный результат. Чтобы понять это другим способом, заметим, что фейнмановская диаграмма с N вершинами есть одна из N! идентичных диаграмм, отличающихся только перестановками меток в вершинах. Учет этого дает множитель N!, сокращающийся с 1/N! в (6.1.1). (Из этого правила существуют исключения, обсуждаемые ниже.) По этой причине далее мы не будем рассматривать более одного набора фейнмановских диаграмм, отличающихся только перестановкой меток в вершинах.

В ряде случаев возникают добавочные комбинаторные множители или знаки, которые следует учитывать в отдельных диаграммах.

* Мы сохранили авторские обозначения. Надеемся, что читатель в дальнейшем не перепутает индекс i, нумерующий тип вершин взаимодействия, с мнимой единицей, входящей как множитель в каждую вершину взаимодействия. —

Ïðèì. ïåð.

5. Предположим, что взаимодействие Hi(x) содержит (помимо других полей и сопряженных полей) произведение M одинаковых полей. Пусть каждое из этих полей спаривается со своим сопряженным полем в другой вершине взаимодействия (причем другой для каждого спаривания), а также в начальном или конечном состоянии. Первое из сопряженных полей можно спарить с любым из М тождественных полей в Hi(x), второе — с любым из оставшихся М−

1 тождественных полей, и так далее, что приводит к дополнительному множителю M! Для компенсации этого множителя принято определять константу связи gi так, чтобы в каждом Hi(x), содержащем М тождественных полей (или сопряженных полей), явно возникал множитель 1/M!. Например, взаимодействие M-ого порядка по скалярному полю ϕ(x) следует записывать как gϕM/M!. (В более

общем случае, часто выписывают явный множитель 1/M!, когда взаимодействие содержит сумму М произведений полей из одного мультиплета внутреннней группы симметрии, или когда по этой или любой другой причине константа связи полностью симметрична или антисимметрична относительно перестановки М бозонных или фермионных полей.)

Однако такое сокращение множителя М! не всегда бывает полным. Например, рассмотрим фейнмановскую диаграмму, в которой М тождественных полей в одном взаимодействии Hi(x) спариваются с М соответствующими сопряженными полями в единственном другом взаимодействии Hj(y) (рис. 6.2). Следуя изложенному выше, мы находим только М! разных спариваний (поскольку нет никакой разницы, какое из сопряженных полей мы назовем первым, вторым и т. д.). В результате, сокращается только один из двух множителей 1/М! в разных взаимодействиях. В этом случае лишний множитель 1/М! следует «руками» включать во вклад такой диаграммы.

Другие комбинаторные множители возникают в ситуации, когда перестановки вершин не влияют на диаграмму. Выше отмеча- лось, что множитель 1/N! в ряде (6.1.1) обычно сокращается из-за суммирования N! диаграмм, отличающихся только переобозначе- нием индексов у N вершин. Однако такое сокращение неполно, если при переобозначении вершин мы не получаем новой диаграммы. Чаще всего это происходит при вычислении матричных элементов S-матрицы между вакуумными состояниями в теории с квадратич- ным взаимодействием H = ψl†Mll′ψl′, где М может зависеть от

Рис. 6.2. Пример диаграммы, вклад которой в S-матрицу содержит дополнительный комбинаторный множитель. Если, например, в вершине взаимодействия имеются три множителя, содержащих какое-то поле (наряду с другими полями), то в гамильтониан взаимодействия обычно включают коэффициент 1/3!, чтобы сократить множители, возникающие от сумм по способам спаривания этих полей с сопряженными им полями в других вершинах. Однако в приведенной диаграмме имеются два таких коэффициента 1/3! и лишь 3! различных спариваний, поэтому остается лишний множитель 1/3!

Рис. 6.3. Диаграмма восьмого порядка амплитуды перехода вакуум–ваку- ум, когда частицы взаимодействуют только с внешним полем. В этой диаграмме внешнее поле представлено волнистыми линиями. Существует 7! таких диаграмм, отличающихся только переобозначением вершин, причем те переобозначения, которые приводят к простому повороту кольца, не считаются различными. Поэтому множитель 1/8! в формуле Дайсона (6.1.1) сокращается не полностью, и остается множитель 1/8

внешних полей. (Физическое значение таких диаграмм вакуумных флуктуаций детально обсуждается в т. II). Фейнмановская диаграмма N-ого порядка по H есть замкнутое кольцо с N углами (рис. 6.3). В этом случае имеется только (N−1)! разных диаграмм, поскольку

перестановка индексов, передвигающая каждый из них к следую-

щей вершине по кольцу, приводит к той же диаграмме. Поэтому подобная диаграмма должна приводить к множителю

6. В теориях с фермионными полями использование формул (6.1.4)-(6.1.6) для перемещения операторов уничтожения и рождения направо и налево приводит к появлению дополнительных знаков «минус» во вкладах разных спариваний. Конкретно, мы получа- ем отрицательный знак каждый раз, когда перестановка операторов в (6.1.1), необходимая для того, чтобы собрать все спариваемые операторы рядом друг с другом (помещая при этом операторы уничтожения слева от спариваемых с ними операторов рождения), включает нечетное число перестановок фермионных операторов. (Это происходит потому, что при вычислении вклада конкретного спаривания, можно сначала переставить все операторы в (6.1.1) так, чтобы каждый оператор уничтожения оказался слева от спариваемого с ним оператора рождения, игнорируя при этом все коммутаторы или антикоммутаторы с неспариваемыми операторами, а затем заменить каждое произведение спаренных операторов на их коммутатор или антикоммутатор.) Из этого правила немедленно вытекает появление относительного отрицательного знака между двумя слагаемыми в выражении (6.1.14) для фермионного пропагатора. Какая бы перестановка не переводила содержащую операторы уничтожения часть ψ+(x) поля в H (x) налево от содержащей операторы рождения части ψ+†(y) сопряженного поля в

H (y), перестановка, переводящая содержащую операторы уничтожения часть ψ–†(x) сопряженного поля налево от содержащей операторы рождения части ψ–(y) поля включает одну лишнюю

перемену мест фермионных операторов, что и приводит к отрицательному знаку перед вторым слагаемым в (6.1.4) для фермионов.

Наконец, отрицательные знаки могут возникать во вкладе всех фейнмановских диаграмм. Например, рассмотрим теорию, в которой единственно возможное взаимодействие фермионов имеет вид:

ãäå glmk — произвольные константы, ψl(x) — совокупность комплексных фермионных полей, а ϕm(x) — совокупность действительных

бозонных (не обязательно скалярных) полей. (Не только квантовая электродинамика, но и вся «стандартная модель» слабых, электромагнитных и сильных взаимодействий имеет фермионные взаимодействия, которые можно привести к указанному виду.) Рассмотрим сначала процесс фермион-фермионного рассеяния 12 → 1′2′ âî

втором порядке по H. В слагаемом второго порядка в (6.1.1) фермионные операторы возникают в следующем порядке (сделаны оче- видные упрощения формы записи):

a(2′)a(1′)ψ† (x)ψ(x)ψ† (y)ψ(y)a† (1)a† (2) . (6.1.19)

В данном порядке существуют две связные диаграммы, отве- чающие спариваниям

[a(2′)ψ† (x)][a(1′)ψ† (y)][ψ(y)a† (1)][ψ(x)a† (2)] , (6.1.20)

[a(1′)ψ† (x)][a(2′)ψ† (y)][ψ(y)a† (1)][ψ(x)a† (2)] (6.1.21)

(рис. 6.4). Для перехода от (6.1.19) к (6.1.20) необходима четная перестановка фермионных операторов. (Например, можно переставить ψ(x) направо с тремя операторами, а затем переставить a(1′)

через один оператор направо.) Таким образом, во вкладе спаривания (6.1.20) не возникает никакого дополнительного знака «минус». Само по себе это не имеет значения; общий знак S-матрицы не влияет на вероятности переходов и в любом случае зависит от соглашений о знаках для начальных и конечных состояний. Сущест-

Рис. 6.4. Связные диаграммы второго порядка для фермион–фермионного рассеяния в теории с взаимоденйствием (6.1.18). Сплошные линии соответствуют фермионам, пунктирные — нейтральным бозонам. Вклады этих диаграмм отличаются знаком, который возникает от дополнительной перестановки фермионных операторов в спариваниях, соответствующих второй диаграмме

венно то, что вклады спариваний (6.1.20) и (6.1.21) имеют противоположный знак. Легче всего это видно, если заметить, что единственной разницей между двумя спариваниями является перестановка двух фермионных операторов a(1′) è a(2′). На самом деле, относи-

тельный знак «минус» требуется статистикой Ферми: при таком знаке амплитуда рассеяния становится антисимметричной относительно перестановки частиц 1′ è 2′ (èëè 1 è 2).

Однако не следует думать, что все знаки можно так просто связать с антисимметрией конечных или начальных состояний даже в низшем порядке теории возмущений. Чтобы стало ясно, о чем идет речь, рассмотрим фермион-антифермионное рассеяние 12c → 1′2′c во втором порядке теории возмущений по тому же

взаимодействию (6.1.18). Фермионные операторы следующим образом входят в слагаемое второго порядка в (6.1.1):

a(2′c )a(1′)ψ† (x)ψ(x)ψ† (y)ψ(y)a† (1)a† (2c ) . (6.1.22)

В этом порядке имеются две диаграммы Фейнмана (рис. 6.5), отве- чающие спариваниям:

[a(2′c )ψ(x)][a(1′)ψ† (x)][ψ(y)a† (1)][ψ† (y)a† (2c )], (6.1.23)

[a(2′c )ψ(x)][a(1′)ψ† (y)][ψ(y)a† (1)][ψ†(x)a† (2c )] . (6.1.24)

Рис. 6.5. Связные диаграммы второго порядка для фермион-антифермион- ного рассеяния в теории с взаимоденйствием (6.1.18). Сплошные линии соответствуют фермионам или антифермионам в зависимости от направления стрелок, пунктирные — нейтральным бозонам. Вклады этих диаграмм снова отличаются знаком, который возникает от дополнительной перестановки фермионных операторов в спариваниях, соответствующих второй диаграмме

При переходе от (6.1.22) к (6.1.23) требуется совершить четную перестановку фермионных операторов (например, переместить ψ(x) через два оператора налево, а ψ†(y) через два оператора направо),

так что во вкладе от спаривания (6.1.23) не возникает никакого лишнего знака «минус». С другой стороны, переход от (6.1.22) к (6.1.24) требует нечетной перестановки фермионных операторов (такой же, как в (6.1.23), и дополнительной перемены местами ψ†(x) c ψ†(y)). Поэтому вклад от этого спаривания входит с до-

полнительным отрицательным знаком *.

Дополнительные знаки возникают при рассмотрении вкладов более высоких порядков. В теориях рассматриваемого здесь типа, где все взаимодействия фермионов имеют вид (6.1.18), фермионные линии в произвольной фейнмановской диаграмме образуют либо цепочки линий, проходящих через всю диаграмму, с произвольным числом взаимодействий с бозонными полями (рис. 6.6), либо образуют фермионные петли типа показанной на рис. 6.7.

Рассмотрим результат добавления к фейнмановской диаграмме любого процесса фермионной петли с М вершинами. Это соответствует спариванию фермионных операторов:

[ψ(x1)ψ(x2 )] [ψ(x2 )ψ(x3 )] . . . [ψ(xM )ψ(x1)] . (6.125)

С другой стороны, эти операторы возникают в (6.1.1) в следующем порядке:

ψ(x1)ψ(x1)ψ(x2 )ψ(x2 ). . . ψ(xM )ψ(xM ) . (6.1.26)

* На самом деле, появление этого знака имеет некоторую связь со статистикой Ферми. Одно и то же поле может уничтожать частицу или рождать античастицу, так что существует соотношение, известное как «кросс-сим- метрия» между процессами, в которых начальные частицы или античастицы обмениваются местами с конечными античастицами или частицами. В частности, амплитуды процесса 12c → 1′2′c связаны с амплитудами кросс-процес- са 12′ → 1′2; два спаривания (6.1.23) и (6.1.24) соответствуют двум диаграммам, отличающимся перестановкой 1 и 2′ (èëè 1′ и 2), так что антисимметрия

амплитуды рассеяния относительно перестановки начальных (или конечных) частиц естественно требует наличия знака минус в относительном вкладе этих спариваний. Однако кросс-симметрия не является обычной симметрией (она включает аналитическое продолжение по кинематическим переменным), так что для произвольных процессов ее трудно использовать с какой-то определенной точностью.