Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

благодаря которым коммутационные соотношения становятся совместными со связями χN = 0. Кроме того, скобки Дирака не изменяются, если заменить χN любыми другими функциями χ′N, для которых уравнения χ′N = 0 è χN = 0 определяют одну и ту же

поверхность связей в фазовом пространстве. Однако все эти приятные свойства не доказывают, что коммутаторы действительно следует задавать формулой (7.6.19), куда входят скобки Дирака.

Вопрос был, если и не разрешен до конца, то прояснен с помощью мощной теоремы, доказанной Маскавой и Накаямой 6. Они показали, что для любого набора канонических переменных Ψa, Πa, подчиняющихся связям второго рода, всегда можно

с помощью некоторого канонического преобразования * построить два набора переменных Qn, Qr и соответствующих им каноничес-

ких импульсов Pn, Pr, так что уравнения связей будут иметь вид Q r = Pr = 0. Используя эти координаты для вычисления скобок Пуассона и переопределяя функции связей, так что χ1r = Q r, χ2r = Pr, получим

а для любых функций А, В

* Напомним, что каноническим мы называем преобразование от одного

вычисляются по Ψa è Πa. Отсюда следует, что скобки Пуассона любых функ-

гамильтонианом **. При каноническом преобразовании лагранжиан изменяется, но только на полную производную по времени, что не меняет величи- ны действия.

** Конечно, в новых переменных гамильтониан, являющийся скалярной функцией, имеет другой вид. — Прим. ред.

440 Глава 7. Канонический формализм

Выписанная С-матрица имеет обратную матрицу С-1 = −Ñ,

так что скобки Дирака (7.6.20) имеют вид:

[A, B]D = [A, B]P + [A, χ1r ]P [χ2r , B]P − [A, χ2r ]P [χ1r , B]P

Иными словами, дираковская скобка равна скобке Пуассона, вычисленной с помощью редуцированного набора независимых канониче- ских переменных Qn, Pn.

Если предположить, что эти независимые переменные удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям, то коммутаторы произвольных операторов А, В выражаются через скобки Дирака формулой (7.6.19) *.

Вернемся к массивному векторному полю, чтобы показать, как его можно проквантовать с помощью скобок Дирака. В этом случае легко выразить зависимые переменные V0 è Π0 через независимые переменные Vi è Πi **: имеем просто Π0 = 0, à V0 задается

формулой (7.6.5). Из (7.6.15) и (7.6.17) следует, что CNM имеет в данном случае обратную матрицу вида:

* Все еще открытым остается вопрос, можно ли принять канонические коммутационные соотношения для независимых переменных Qn, Pn, построенных с помощью канонического преобразования Маскавы−Накаямы. В ко-

нечном счете, проверкой таких коммутационных соотношений будет их совместимость с выведенными в гл. 5 коммутационными соотношениями для свободных полей, но чтобы воспользоваться этим тестом, нужно знать, чему равны Qn è Pn. В Приложении к этой главе мы описываем два больших класса теорий, в которых можно установить набор таких независимых величин Qn è Pn, что дираковские коммутационные соотношения (7.6.19) будут следовать из обычных канонических коммутационных соотношений для Qn è Pn. Мы покажем также, что в этих случаях гамильтониан, определенный через независимые переменные Q и P, может быть с тем же успехом записана и через все переменные Ψ è Π.

** Это частный случай теорий, обсуждаемых в части А Приложения к этой главе.

Поэтому предписание Дирака (7.6.19), (7.6.20) приводит к одновременным коммутаторам следующего вида:

[A, B] = i[A, B]P

+ im−2 z d3zc[A, Π0 (z)]P [∂iΠi (z) − m2V0 (z) − J0 (z), B]P − A ↔ Bh .

[Πμ (x), Πν (y)] = 0 .

Это в точности те коммутационные соотношения, которые мы получили бы, предположив, что независимые переменные удовлетворяют обычным каноническим коммутационным соотношениям

[V i (x), Πj (y)] = iδijδ3 (x − y) , [V i (x), V j (y)] = [Πi (x), Πj (y)] = 0 ,

и использовав связи для вычисления коммутаторов, содержащих

Π0 è V0.

7.7. Переопределения полей и несущественные константы взаимодействия *

В любое действие входят некоторые параметры взаимодействия, от которых не зависят наблюдаемые, например, массы или матричные элементы S-матрицы. Эти параметры называют несущественными **. Такое имя они получили потому, что изменение этих параметров можно устранить простым переопределением полевых переменных.

Непрерывное переопределение полей, например, бесконечно малое локальное преобразование Ψl(x) → Ψl(x)+ εFl(Ψ(x),∂μΨ(x),...),

очевидно не может влиять на любую наблюдаемую в теории ***,

хотя, конечно, может изменить значения матричных элементов самих полей.

Как узнать, может ли какое-то изменение параметров теории быть скомпенсировано переопределением полей? Непрерывное локальное переопределение поля приводит к изменению действия вида

Поэтому любое изменение δgi параметров взаимодействия gi, äëÿ

которого изменение действия имеет вид:

*Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения

èможет быть опущен при первом чтении.

**Автор употребляет здесь английский термин redundant, дословно —

излишний. — Прим. пер.

***Например, теорема из раздела 10.2 показывает, что до тех пор, пока мы умножаем на правильные константы перенормировки полей, элементы S-матрицы могут быть получены из среднего по вакууму от хронологически упорядоченного произведения любых операторов, имеющих неисчезающие матричные элементы между вакуумом и одночастичными состояниями уча- ствующих в реакции частиц.

может быть скомпенсировано переопределением полей

Ψl (x) → Ψl (x) + εFl (Ψ(x), ∂Ψ(x), . . . ) ,

и, таким образом, не влияет ни на какую наблюдаемую. Иными словами, параметр взаимодействия является несущественным, если при вариации этого параметра изменение действия обращается в нуль на уравнениях движения * δI/δΨl = 0.

Например, предположим, что лагранжиан теории скалярного поля имеет вид:

L = − 21 Z(∂μΦ∂μΦ + m2Φ2 ) − 241 gZ2Φ4 .

Константа Z является лишней, поскольку

и это выражение обращается в нуль на уравнениях движения

9Φ − m2Φ = 61 gZΦ3 .

С другой стороны, ни голая масса m, ни голая константа связи g не являются несущественными, как и любая функция m и g.

В этом примере переопределение поля, требуемое для компенсации изменения Z, является простым изменением масштаба, когда F просто пропорционально Φ. (По этой причине Z называют

константой перенормировки поля.) Это самое общее преобразование поля, оставляющее инвариантным общую форму такого действия. Однако для рассматриваемых в разделах 12.3 и 12.4 действий более общего вида, содержащих произвольное число полей и их произ-

* Дословно автор пишет: «...когда мы пользуемся полевыми уравнениями», что в развернутой форме означает: «при условии, что поля в действии удовлетворяют полевым уравнениям». В современной русской терминологии для этого условия общепринят термин «на уравнениях движения», который мы используем здесь и ниже. — Прим. ред.

водных, нам придется рассматривать как линейные, так и нелинейные переопределения полей, и в результате несущественным оказывается бесконечное подмножество параметров теории.

Приложение

Вывод скобок Дирака из канонических коммутаторов

В этом Приложении для теорий двух типов мы покажем, что формула для коммутаторов в виде дираковских скобок, умноженных на i, следует из обычных канонических коммутационных соотношений для редуцированного набора переменных.

À

Предположим (как это имеет место в случае массивного векторного поля Vμ), что квантовые переменные Ψa è Πa, возникающие

из лагранжиана L, можно разделить на два класса *: один набор Qn независимых канонических переменных (типа Vi(x)) с независимыми канонически сопряженными импульсами Pn = ∂L∂Q& n , и другой

набор переменных Qr(x) (òèïà V0), производные по времени которых не входят в функцию Лагранжа. Первичные связи имеют вид χ1r = 0, ãäå

— импульсы, канонически сопряженные к Qr. Вторичные связи возникают из уравнений движения 0 = ∂L/∂Qr äëÿ Qr. Предполо-

жим, что эти связи могут быть «разрешены», т. е. их можно записать в виде χ2r = 0, ãäå χ2r имеет вид

* Мы вновь используем компактные обозначения, в которых метки a, n и r включают пространственные координаты x, а также дискретные индексы. По повторяющимся индексам проводится суммирование и интегрирование. Считается, что все квантовые переменные вычисляются в один и тот же момент времени, причем общий временной аргумент везде опущен. Величи- ны Qr тождественны введенным в разделе 7.2 величинам Cr.

(Примером может служить формула (7.6.5), где V0 выражается через независимые импульсы Р (в данном случае Πi) и переменные

Q.) Предположим, что независимые канонические переменные Q и P удовлетворяют обычным каноническим коммутационным соотношениям:

Связь χ2r = 0 приводит к следующим коммутаторам, включающим Q :

а все коммутаторы, включающие Pr, естественно, равны нулю:

Сравним эти коммутаторы со скобками Дирака. Скобки Пуассона от связей имеют вид:

(В примере с массивным векторным полем величины Γrs обращают-

ся в нуль, но приведенная аргументация верна и для ненулевых Γrs.) Легко видеть, что матрица С имеет обратную:

(C−1)1r,1s = Γ rs , (C−1)2r,2s = 0 ,

(C−1)1r,2s = −(C−1)2s,1r = δsr . (7.À.11)

Этого и следовало ожидать, поскольку, как отмечалось в разделе 7.6, все дираковские скобки, включающие функции связей, обращаются в нуль, а дираковские скобки, включающие Q r è/èëè Ps, можно вычислить, используя уравнения связи для выражения Q r è/èëè Ps через независимые переменные Q и P.

Â

Рассмотрим теперь случай, когда связи принимают вид условий χ1r(Ψ) = 0 íà Ψa, которые можно разрешить, выразив все Ψa

через меньший набор независимых переменных Qn, и такое же число отдельных условий χ2r(Π) = 0 íà Πa, которые также можно разрешить, выразив Πa через меньший набор независимых

переменных Pn. (Соответствующий пример будет рассмотрен в следующей главе, где связи на Ψa представляют собой условия, фиксирующие калибровку, а связи на Πa — вторичные связи,

возникающие из условия совместности связей первого рода с полевыми уравнениями.) Предположим, что независимые переменные удовлетворяют обычным каноническим коммутационным

Далее, векторы (Vr)b ≡ ∂χ1r/∂Ψb образуют полный набор векторов, перпендикулярных ко всем векторам (Un)b ≡ ∂Ψb/∂Qn, поскольку,

если бы существовал какой-то другой вектор Vb, удовлетворяющий условию Vb(Un)b = 0 для всех n, то это означало бы наличие дополнительных ограничений на Ψa. Поэтому из (7.А.18) вытека-

åò, ÷òî

с некоторыми неизвестными коэффициентами car. Чтобы определить эти коэффициенты, используем другие связи, а именно, что χ2r(Π) = 0. Из них следует, что

0 = [Ψa , χ2r (Π)] = i[Ψa , Πb ] ∂χ2r (Π) .

∂Πb

Используя (7.А.20), получаем тогда

Множитель при cas есть скобка Пуассона

∂χ1s (Ψ) ∂χ2r (Π) = [χ1s , χ2r ]P ≡ C1s,2r . ∂Ψb ∂Πb

Кроме того, поскольку χ1s зависит только от Ψ, à χ2r − только от Π, ýòî

единственные отличные от нуля скобки Пуассона связей, тогда как

C1r,1s = C2r,2s = 0 .

Таким образом, можно переписать (7.А.21) в виде

где N нумерует все связи. Для связей второго рода это уравнение имеет единственное решение