Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

500 Глава 8. Электродинамика

Trng μ g νg ρg σ g κ g ηs = 4[hμνhρσ hκη - hμνhρκ hση + hμνhρηhσκ

-hμρhνσ hκη + hμρhνκ hση - hμρhνηhσκ + hμσ hνρhκη - hμσ hνκ hρη

+hμσ hνηhκρ - hμκ hνρhση + hμκ hνσ hρη - hμκ hνηhρσ + hμηhνρhσκ (8.À.7) -hμηhνσ hρκ + hμηhνκ hρσ ] .

Для нечетного числа g-матриц результат намного проще:

Формула (8.А.1) доказывается по индукции. Заметим, прежде всего, что

Trng μ g ν s = -Trng νg μ s + 2Trnhμν × 1s = -Trng μ g ν s + 8hμν ,

òàê ÷òî Tr{gμgν} = 4hμν, в согласии с (8.А.1). Далее, предположим, что (8.А.1) верна для N £ M - 1. Тогда

Trng μ1 g μ2 . . . g μ2M s = 2hμ1μ2 Trng μ3 . . . g μ2M s - Trng μ2 g μ1 g μ3 . . . g μ2M s

= 2hμ1μ2 Trng μ3 . . . g μ2M s - 2hμ1μ3 Trng μ2 g μ4 . . . g μ2M s

+Trng μ2 g μ3 g μ1 g μ4 . . . g μ2M s

=2hμ1μ2 Trng μ3 . . . g μ2M s - 2hμ1μ3 Trng μ2 g μ4 . . . g μ2M s

+ 2hμ1μ4 Trng μ2 g μ3 g μ5 . . . g μ2M s - . . .

+ 2hμ1μ2M Trng μ2 . . . g μ2M−1 s - Trng μ2 . . . g μ2M g μ1 s .

След любого коммутатора равен нулю, так что последнее вычитаемое выражение в правой части равно исходному выражению в левой части, и поэтому

- . . . + hμ1μ2M Trng μ2 . . . g μ2M−1 s .

Если предположить, что формула (8.А.1) правильна для следа любого произведения 2N−2 матриц Дирака, то формула (8.А.9) показывает,

что эта же формула (8.А.1) правильна для следа 2N матриц. Простейший способ убедиться в том, что след нечетного числа

дираковских матриц равен нулю, это заметить, что −γμ связана с γμ преобразованием подобия: −γμ = γ5γμ(γ5)−1. Следы не меняются при та-

ком преобразовании, поэтому след нечетного числа дираковских матриц равен самому себе со знаком «минус» и следовательно равен нулю.

Мы сталкиваемся с еще одним типом следов вида

Trnγ 5 γ μ1 . . . γ μn s.

Такой след обращается в нуль при нечетных n по тем же при- чинам, что и для следов без γ5. Кроме того, этот след равен нулю

ïðè n = 0 è n = 2:

(Чтобы увидеть это, вспомним, что γ5 ≡ iγ0γ1γ2γ3, и заметим, что невозможно произвести спаривание индексов в Tr{γ0γ1γ2γ3} èëè Tr{γ0γ1γ2γ3γμγν} так, чтобы пространственно-временные индексы в ка-

ждой паре были одинаковы.) При n = 4 такое спаривание индексов в Tr{γ0γ1γ2γ3γμγνγργσ} возможно, но только в том случае. если μ, ν, ρ, σ являются какими-то перестановками 0, 1, 2, 3. Более того, этот след должен быть нечетным относительно перестановок μ, ν, ρ, σ, òàê êàê γ-матрицы с разными индексами антикоммутируют. Следовательно след Tr{γ5γμγνγργσ} должен быть пропорционален полностью антисимметричному тензору εμνρσ. Коэффициент пропорциональности можно установить, положив μ, ν, ρ, σ равными 0, 1, 2, 3 и вспомнив, что ε0123 ≡ −1. Таким образом находим

След произведения γ5 с шестью, восемью и более дираковскими

матрицами можно вычислить теми же методами, которые использовались выше при доказательстве формулы (8.А.1).

Задачи

1.Вычислите дифференциальное и полное сечения процесса e+e− → μ+μ− в низшем порядке по е. Считайте, что спины электрона и

мюона не регистрируются. Используйте для электронов и мюонов простейший лагранжиан спинорной электродинамики.

2.Проведите каноническое квантование теории заряженного скалярного поля Φ и его взаимодействия с электромагнитным по-

лем, если лагранжиан равен:

L = −(Dμ Φ)† (Dμ Φ) − m2 Φ†Φ − λ(Φ†Φ)2 − 14 FμνFμν ,

Dμ Φ ≡ ∂μ Φ − iqAμ Φ , Fμν ≡ ∂μ Aν − ∂ ν Aμ .

Используйте кулоновскую калибровку. Выразите гамильтониан через поля A, Φ è Φ† и сопряженные им импульсы. Найдите

оператор взаимодействия V(t) в представлении взаимодействия через поля в этом представлении и их производные.

3.Используя результаты задачи 2, вычислите в низшем порядке по е дифференциальное и полное сечения рассеяния фотонов на массивной скалярной заряженной частице.

4.Напишите калибровочно-инвариантный лагранжиан для теории взаимодействия заряженного массивного векторного поля с электромагнитным полем.

5.Вычислите дифференциальное сечение электрон-электронного рассеяния в низшем порядке по е. Считайте, что спины начальных и конечных частиц не регистрируются.

Список литературы

1.См., например, Green, M.B., Schwarz, J.H., and Witten, E. Superstring Theory (Cambridge University Press, Cambridge, 1987), Section 2.2. (Есть рус. пер.: М. Грин, Дж. Шварц, Ю. Виттен. Теория суперструн. Тт. 1, 2. М.: Мир, 1991)

1a. Fock, V., Z. f. Phys., 39, 226 (1927); Weyl, H., Z. Phys., 56, 330 (1929). Термин «калибровочная инвариантность» возник по аналогии с более ранними спекуляциями на тему о масштабной инвариантности в книге: Weyl, H., Raum, Zeit, Materie, 3rd ed. (Springer Verlag, Berlin, 1920) (есть рус. пер.: Г. Вейль. Пространство, время, материя. М., 1998). Историю вопроса рассказал Ч.Н. Янг в докладе в Сити-колледже (неопубликовано).

2.Использование кулоновской калибровки в электродинамике активно поддерживал Швингер, во многом по тем же причинам,

что и в данной книге: нам не нужно вводить фотонов со спиральностями, отличными от ± 1. Ñì.: Schwinger, J., Phys. Rev.,

78, 1439 (1948); 127, 324 (1962); Nuovo Cimento, 30, 278 (1963).

3. Feynman, R.P., Phys. Rev., 101, 769 (1949), Section 8.

4. Klein, O. and Nishina, Y., Z. f. Phys., 52, 853 (1929); Nishina, Y., ibid., 869 (1929); см. также: Tamm, I., Z. f. Phys., 62, 545 (1930).

5. См., например: Weinberg, S., Gravitation and Cosmology (Wiley, New York, 1972), Section 4.11 (есть рус. пер.: Вейнберг С. Гравитация и космология. М.: Мир, 1976).

6. Доступное общее введение в геометрию и топологию р-форм можно найти в книге: Flanders, H., Differential Forms (Academic Press, New York, 1963).

7. West, T., Comput. Phys. Commun., 77, 286 (1993).

9

Методы функционального интегрирования *

В главах 7 и 8 мы применили операторный формализм канони- ческого квантования для вывода фейнмановских правил в разных теориях. Во многих случаях, например, для скалярного поля со взаимодействием с производными или для векторного поля с нулевой или отличной от нуля массой, такая процедура оказалась хотя и прямо ведущей к цели, но довольно сложной. Оказалось, что гамильтониан взаимодействия содержит как ковариантное слагаемое, равное взятому с обратным знаком члену взаимодействия в лагранжиане, так и нековариантное слагаемое, необходимое для сокращения нековариантных членов в пропагаторе. В электродинамике такое нековариантное слагаемое (кулоновская энергия) оказалось даже пространственно нелокальным, хотя и локальным по времени. Оконча- тельный результат достаточно прост: фейнмановские правила соответствуют тому, что мы имеем дело с ковариантными пропагатора-

*Начиная с этого момента мы последовательно переводим используемый

âанглоязычной литературе термин path integral и его производные как функциональный интеграл и производные от этого термина «функциональная формулировка», «функциональный подход», «функциональный формализм» и т. п., имея в виду, что буквальный перевод термина интеграл по путям используется в русских пособиях и монографиях, когда речь идет об альтернативной формулировке квантовой механики, а в применении к квантовой теории поля и квантовой статистике используются более общие термины. — Прим. пер.

ми, а для нахождения вкладов в вершины используем взятый со знаком «минус» член взаимодействия в лагранжиане. Сложность получе- ния этих простых результатов, достаточно раздражающая в случае теорий, рассмотренных в гл. 7 и 8, становится непереносимой в более сложных теориях, типа обсуждаемых в т. II неабелевых калибровоч- ных теорий или общей теории относительности. Всякий предпочел бы такой метод вычислений, который исходит непосредственно из лагранжиана и приводит к фейнмановским правилам в их оконча- тельной лоренц-ковариантной форме.

К счастью, такой метод существует. Он связан с формулировкой квантовой механики на языке функциональных интегралов. Впервые функциональный подход был изложен применительно к нерелятивистской квантовой механике в диссертации Фейнмана 1, где было показано, как можно вместо гамильтониана работать непосредственно с лагранжианом. В этом отношении работа Фейнмана была инспирирована более ранней работой Дирака 2. Позднее функциональный подход сыграл (наряду с вдохновенными догадками) важную роль при выводе Фейнманом правил диаграммной техники 3. Однако, хотя фейнмановские диаграммы стали общеупотребительными уже в 1950-е годы, большинство физиков (включая меня самого) предпочитали выводить правила для них с помощью операторных методов Швингера и Томонаги, которые, как показал в 1949 году Дайсон, приводят к тем же правилам диаграммной техники, что и полученные Фейнманом с помощью его методов.

Функциональный подход возродился в конце 1960-х годов, когда Фаддеев и Попов 4, а также Де Витт 5 показали, как применить его к неабелевым калибровочным теориям и общей теории относительности. Для большинства теоретиков поворотным стал 1971 год, когда ′ò Õîôò 6 применил функциональный метод для

вывода фейнмановских правил в спонтанно нарушенных калибровочных теориях (они обсуждаются в т. II), в частности, в теории слабых и электромагнитных взаимодействий, использовав при этом калибровку, в которой становится совершенно прозрачным поведение этих теорий при больших энергиях. Вскоре (об этом также рассказывается в т. II) было обнаружено, что функциональный метод позволяет учесть вклады в S-матрицу, которые существенно сингулярны при нулевой константе связи и поэтому не могут быть обнаружены в любом конечном порядке теории возмущений. С тех

пор описываемые ниже функциональные методы стали неотъемлемой частью вооружения всех физиков, использующих квантовую теорию поля.

Читатель может в этом месте задать вопрос, почему же, раз этот метод так удобен, мы мучились в гл. 7 с обоснованием канони- ческого формализма. Похоже, и сам Фейнман поначалу полагал, что его функциональный подход может стать заменой обычной канонической формулировки квантовой механики. Есть две причины начинать с канонического формализма. Первая из них носит принципиальный характер: хотя функциональный формализм приводит к явно лоренц-инвариантным правилам диаграммной техники, остается неясным, почему вычисленная таким способом S-матрица унитарна. Насколько мне известно, единственный способ доказать, что функциональный формализм приводит к унитарной S-матри- це, заключается в том, чтобы использовать его для реконструкции канонического формализма, в котором унитарность очевидна. В этом вопросе срабатывает закон сохранения неприятностей: можно использовать канонический подход, в котором унитарность очевидна, а лоренц-инвариантность спрятана, или функциональный подход, который явно лоренц-инвариантен, но отнюдь не явно унитарен. Так как ниже функциональный подход выводится из канонического подхода, мы уверены, что оба подхода приводят к одной S- матрице, так что S-матрица действительно должна быть как ло- ренц-инвариантной, так и унитарной.

Вторая причина, по которой сначала рассматривается канонический формализм, более практического свойства: существуют важные теории, где простейшая версия фейнмановского функционального метода, в которой пропагаторы и вершины взаимодействия извлекаются непосредственно из лагранжиана, просто неверна. Примером может1 служить нелинейная σ-модель с плотностью лагранжиана L = − gkl(ϕ)∂μϕk∂μϕl. В подобных теориях исполь-

зование наивных правил Фейнмана, выведенных непосредственно из плотности лагранжиана, приводит к S-матрице, которая не только неправильна, но даже не унитарна, да еще и зависит от способа, которым мы определяем скалярное поле 7. В этой главе мы выведем функциональный формализм из канонического формализма и, таким образом, увидим, какие еще типы вершин необходимы для того, чтобы дополнить простейшую версию фейнмановского функционального метода.

9.1. Общая формула для функционального интеграла

Начнем с рассмотрения произвольной квантово-механической системы с эрмитовыми операторами «координат» Qa и сопряженных им «импульсов» Pb, удовлетворяющими каноническим коммутационным соотношениям *:

(В этом и трех следующих разделах ограничимся бозонными операторами, которые удовлетворяют коммутационным соотношениям. Полученные результаты будут обобщены в разделе 9.5 на случай фермионных операторов, удовлетворяющих антикоммутационным соотношениям.)

В теории поля индекс a включает координату x и дискретные индексы m, включающие лоренцовские индексы и сорта частиц, и мы условимся о следующих обозначениях:

Кроме того, кронекеровский дельта-символ в (9.1.1) понимается в теории поля как

Однако сейчас будет удобно использовать более компактные обозначения, как в формулах (9.1.1) и (9.1.2). Операторы в этих формулах записаны в «шредингеровском представлении», т. е. взяты

* Здесь молчаливо предполагается, что все связи первого рода устранены выбором калибровки, а все оставшиеся связи второго рода «разрешены», так что все степени свободы, на которые наложены связи, выражены че- рез независимые операторы Qa è Pa. Согласно разделу 7.6 непосредственное использование функциональных методов к системам со связями описано Фаддеевым 8.