Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

где сумма берется по независимым каноническим переменным. В теориях обоих типов, рассмотренных в этом Приложении, такой гамильтониан можно записать через все переменные в виде

Для теорий типа А это утверждение тривиально: сумма по a берется по значениям n, для которых Ψn = Qn è Πn = Pn −

независимые канонические переменные, а также по значениям r, для которых Πr = Pr = 0. Для теорий типа В заметим, что из (7.А.17)

следует

что вновь приводит к (7.А.30).

Задачи

1.Рассмотрите теорию нескольких действительных скалярных полей Φn с лагранжианом

L = − 21 åmn ∂μΦn∂μΦm fnm(Φ),

ãäå fnm(Φ) − произвольная действительная матричная функция поля. (Такая теория называется нелинейной σ-моделью.) Про-

ведите каноническое квантование этой теории. Получите вид взаимодействия V[ϕ(t), ϕ& (t) ] в представлении взаимодействия.

2.Рассмотрите теорию действительных скалярных полей Φn è

дираковских полей Ψi с лагранжианом L = L0 + L1, ãäå L0 − обычный лагранжиан свободных полей, а L1 − взаимодействие, содержащее поля Φn è Ψi, но не их производные. Получите явное выражение для симметричного тензора энергии−импульса Θμν.

3.Пусть в теории, описанной в задаче 2, плотность лагранжиана инвариантна относительно глобального инфинитезимального преобразования

Получите явные выражения для сохраняющихся токов, связанных с этой симметрией.

4.Рассмотрите теорию комплексного скалярного поля Φ и действительного векторного поля Vμ с лагранжианом

L = −(Dμ Φ)† Dμ Φ − 14 FμνFμν − 21 m2Vμ Vμ − H (Φ†Φ) ,

ãäå Dμ ≡ ∂μ − igVμ è Fμν ≡ ∂μVν − ∂νVμ, à Í − произвольная

функция. Проведите каноническое квантование этой теории. Получите вид взаимодействия в представлении взаимодействия.

5.В теории, рассмотренной в задаче 4, получите выражения для симметричного тензора энергии−импульса Θμν и сохраняюще-

гося тока, связанного с преобразованием симметрии, при котором δΦ = iεΦ, δVμ = 0.

6.Докажите, что скобки Дирака удовлетворяют тождеству Якоби (7.6.23).

7.Докажите. что скобки Дирака не зависят от выбора связи χN,

задающих данное подмногообразие фазового пространства.

Список литературы

1.Casimir,H.B.G., Proc. K. Ned. Akad. Wet., 51, 635 (1948); Spaarnay, M.J., Nature, 180, 334 (1957).

2.Belinfante, F., Physica, 6, 887 (1939); см. также: Rosenfeld, L.,

Memoires de l'Academie Roy. Belgique, 6, 30 (1930).

3.См., например: Weinberg, S., Gravitation and Cosmology (Wiley, New York, 1972), ch. 12 (есть рус. пер.: С. Вейнберг. Гравитация и космология. М.: Наука, 1972).

4.См., например: Wess, J. and Bagger, J., Supersymmetry and

Supergravity (Princeton University Press, Princeton, 1983) и цитированные в этой книге оригинальные работы (есть рус. пер.: Дж. Весс, Дж. Баггер. Суперсимметрия и супергравитация. М.: Мир, 1985).

5.Dirac, P.A.M., Lectures on Quantum Mechanics (Yeshiva University, New York, 1964). См. также: Dirac, P.A.M., Canad. J. Math., 2, 129 (1950); Proc. Roy. Soc. London, ser. A, 246, 326 (1958); Bergmann, P.G., Helv. Phys. Acta Suppl. IV, 79 (1956).

6.Maskawa, T. and Nakajima, H., Progr. Theor. Phys., 56, 1295 (1976). Я благодарен Дж. Фейнбергу, обратившему мое внимание на эту ссылку.

8

Электродинамика

Первоначальный подход к квантовой электродинамике заклю- чался в том, чтобы принять как данное максвелловскую классиче- скую теорию электромагнетизма и проквантовать ее. Вероятно, чи- татель уже не удивится тому, что в этой книге мы пойдем другим путем.

Сначала, анализируя специфические трудности, возникающие при формулировке квантовой теории безмассовых частиц со спином, мы придем к необходимости принципа калибровочной инвариантности, и затем выведем основные свойства электродинамики. Далее мы будем следовать более привычным современным путем, и исходя из калибровочной инвариантности выведем существование векторного потенциала, описывающего безмассовые частицы спина единица.

Слишком рано говорить, какая из этих альтернатив отвечает логическому порядку природы. Большинство теоретиков предпочи- тает брать за отправную точку калибровочную инвариантность, однако в современных теориях струн1 аргументация иная: сначала среди нормальных мод струны обнаруживается состояние нулевой массы и спина единица, а затем из этого выводится калибровочная инвариантность эффективной теории поля, описывающей такие частицы.

Во всяком случае, как мы увидим, и тот, и другой подход приводят к квантованной версии максвелловской теории, все еще остающейся образцовым примером успешной квантовой теории поля.

Если поля материи удовлетворяют своим полевым уравнениям, действие материи стационарно по отношению к любым вариациям Ψl,

так что в этом случае правая часть формулы (8.1.7) должна обратиться в нуль, откуда

В частности, в разделе 7.3 мы видели, что если IM есть интеграл от функции LM, зависящей от Ψl è ∂μΨl, то сохраняющийся ток дается

формулой *

и он порождает преобразования (8.1.6) в том смысле, что

Поэтому можно построить лоренц-инвариантную теорию, где векторное поле Aμ взаимодействует с сохраняющимся током Jμ в том смысле, что вариационная производная δIM/δAμ(x) пропорциональна Jμ(x). Любая константа пропорциональности может быть погло-

щена переопределением общего масштаба зарядов ql, так что можно просто приравнять эти величины друг другу:

* Здесь считается, что Ψl пробегает множество всех независимых полей, кроме Aμ. Мы используем заглавное Ψ, чтобы отметить, что это поля

в гейзенберговском представлении, зависимость от времени которых вклю- чает эффекты взаимодействия. Конечно, эти Ψl не следует путать с вектором

состояния или волновой функцией.

включены в то, что мы назвали действием материи. С учетом формул (8.1.11) и (8.1.14) уравнения электромагнитного поля имеют вид

Видно, что это обычные неоднородные уравнения Максвелла с током Jν. Есть и другие, однородные, уравнения Максвелла

которые непосредственно вытекают из определения Fμν ≡ ∂μAν–∂νAμ.

Выше мы исходили из существования безмассовых частиц спина единица и были вынуждены потребовать инвариантности действия материи относительно локального калибровочного преобразования (8.1.12), (8.1.13).

Обычно этот вывод производится в обратном направлении. Иными словами, исходят из глобальной внутренней симметрии

и задают вопрос, что нужно сделать, чтобы расширить ее до локальной симметрии

Если лагранжиан L зависит только от полей Ψl(x), но не от их производных, то нет никакой разницы в том, постоянна величина ε или нет. Инвариантность с постоянной ε влечет инвариантность и в случае, когда ε есть функция пространственно-временных коорди-

нат. Однако все реалистические лагранжианы содержат производные, и мы сталкиваемся с проблемой, что производные полей преобразуются не так, как сами поля:

Чтобы второе слагаемое в этом выражении сократилось, мы «руками» вводим векторное поле Aμ(x), преобразующееся по прави-

ëó