Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

где {...} означает набор индексов внутри скобок независимо от их порядка.

При выводе фейнмановских правил хотелось бы переписать суммы по промежуточным состояниям типа (9.5.7) как интегралы по собственным состояниям Qa èëè Pa. Однако такие операторы не могут иметь (отличные от нуля) собственные значения в обычном смысле. Допустим, мы пытаемся найти состояние |qñ, удовлетворяющее

(для всех а) уравнению

Из (9.5.2) следует, что

что невозможно для обычных чисел. Однако ничто не может помешать нам ввести в рассмотрение алгебру «переменных» qa (их называют грассмановыми переменными), которые действуют как с-чис- ла, если речь идет о физическом гильбертовом пространстве, но которые все же удовлетворяют антикоммутационным соотношениям (9.5.15). Потребуем далее, чтобы

ãäå q è q′ обозначают любые два «значения» этих переменных. Теперь можно построить состояния |qñ, удовлетворяющие уравнению (9.5.14):

где экспонента определена как обычно своим разложением в ряд. (Чтобы проверить , что уравнение (9.5.14) удовлетворяется, воспользуйтесь тем, что все Paqa коммутируют друг с другом и имеют нулевой квадрат, так что

542 Глава 9. Методы функционального интегрирования

Нетрудно видеть, что состояния |qñ (как и состояния |pñ) îáðà-

зуют в определенном смысле полный набор состояний. Из определений (9.5.17) следует, что состояние |a, b, ...ñ из общего базиса есть

(с точностью до фазы) коэффициент при произведении qaqb... в разложении состояния |qñ в сумму произведений грассмановских чисел q. Поэтому всякое состояние |fñ можно представить в виде

f = f0 q 0 + å fa q a + å fab q ab + . . . ,

aa¹b

где f — численные коэффициенты, а нижние индексы ab ... при символе |qñ обозначают коэффициенты при произведении qaqb... в разложении состояния |qñ.

При суммировании по состояниям очень удобно ввести определенный способ интегрирования по фермионным переменным, известный как интегрирование по Березину, 10 который позволяет находить коэффициенты при таких произведениях антикоммутирующих с-чисел. Для любого набора этих переменных xn (состоящего из величин p, q или и тех и других) самая общая функция f(x) может

быть представлена в виде

+слагаемые, в которых множителей x меньше,

àинтеграл по переменным x определяется как

где тильда в формуле (9.5.29) соответствует удобному соглашению, что дифференциалы записываются в порядке, противоположном порядку произведения переменных интегрирования в (9.5.28). Так как это произведение антисимметрично относительно перестановки любых двух ξ, то интеграл антисимметричен также относительно перестановки любых двух dξ, так что «дифференциалы» эффективно

антикоммутируют:

Кроме того, коэффициент с может зависеть от других с-чис- ловых переменных, по которым не проводится интегрирование, и которые антикоммутриуют с теми ξ, по которым мы интегрируем.

В этом случае важно стандартизовать определение с, переместив все ξ налево от с перед интегрированием по ним, как это и сделано

в формуле (9.5.28).

Например, самая общая функция от пары антикоммутирующих с-чисел ξ1 è ξ2 имеет вид

f(ξ1, ξ2 ) = ξ1ξ2c12 + ξ1c1 + ξ2c2 + d ,

поскольку квадраты и все более высокие степени ξ1 è ξ2 обращаются

в нуль. Интегралы от этой функции равны

z dξ1 f(ξ1, ξ2 ) = ξ2c12 + c1 , z dξ2 f(ξ1, ξ2 ) = −ξ1c12 + c2 , z dξ2dξ1 f(ξ1, ξ2 ) = c12 .

Заметим, что многократный интеграл совпадает с повторным:

z dξ2dξ1 f(ξ1, ξ2 ) = z dξ2 [z dξ1 f(ξ1, ξ2 )] .

Этот результат можно легко распространить на интегралы по любому числу фермионных переменных. (Именно для того, чтобы получить указанную формулу без дополнительных знаковых

546 Глава 9. Методы функционального интегрирования

Однако ∏n xmn совпадает с произведением ∏n xn (взятым в

первоначальном порядке), если не считать знакового множителя e[m], равного +1 или -1 в зависимости от того, является ли перестановка n ® mn четной или нечетной перестановкой первоначаль-

ного порядка множителей:

Эта формула применима при любом порядке следования xn, если только мы возьмем x¢n в том же порядке. Отсюда следует, что коэффициент при произведении Õnx¢n в разложении любой функции f(x) ïî x¢ равен в точности коэффициенту при произведении Õnxn,

умноженному на (Det S )–1. Мы записываем это утверждение как

Это обычное правило замены переменных интегрирования, за исключением того, что (Det S ) входит в степени −1, а не +1. Далее мы

используем правило (9.5.38) и свойства линейности (9.5.31), (9.5.32) и (9.5.35) для вычисления интегралов, встречающихся при выводе фейнмановских правил для теорий с фермионами.

Используя это определение интегрирования, можно записать условие полноты как формулу для интеграла по собственным зна- чениям. Как уже отмечалось, любое состояние |fñ можно разложить в ряд по состояниям |0ñ, |añ, |a,bñ, и т. д., а сами эти состояния равны

(с точностью до фазы) коэффициентам при произведениях 1, qa, qaqb, и т. д. в разложении собственного состояняи |qñ операторов Q.

Согласно определению интегрирования, можно извлечь коэффициент при любом произведении qbqcqd... в разложении состояния |qñ, интегрируя произведение |qñ со всеми qa, где a не равно b, c, d, ...

Таким образом, выбирая функцию f(q) как подходящую сумму