Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

ãäå O l(x) — гейзенберговский оператор, имеющий те же трансформационные свойства относительно лоренцовских преобразований, что и некоторое свободное поле ψl, принадлежащее неприводимому

представлению однородной группы Лоренца (для теорий, сохраняющих четность,— группы Лоренца, включающей отражения), о чем свидетельствует индекс l, а A2, A3, и т. д. — произвольные гейзенберговские операторы. Предположим, что имеется одночастичное состояние Ψq1 ,s , имеющее неисчезающие матричные элементы с состояниями O l†Ψ0 è À2À3...Ψ0. Тогда согласно доказанной в предыдущем разделе теореме Gl имеет полюс при q12 = −m2, причем

ãäå ul(q,σ) равна (если не считать множителя (2π)−3/2) коэффициентной функции * свободного поля ψl с теми же трансформационными

свойствами относительно лоренцовских преобразований, что и оператор Оl, а N — константа. (Именно для того, чтобы получить формулу (10.3.3) с единственной свободной константой N, нам пришлось предположить, что Оl преобразуется неприводимо.) Определим также «усеченный» матричный элемент Ml формулой

* Например, для стандартным образом нормированного свободного

590 Глава 10. Непертурбативные методы

Согласно формулам (6.2.2) и (6.2.18), величина, входящая в формулу (10.3.5) в виде множителя перед Ml′, равна матричному пропагатору в импульсном пространстве −i ll′(q1) для свободного

поля, имеющего те же трансформационные свойства относительно лоренцовских преобразований, что и Оl (или, по крайней мере, такими свойствами должен обладать предел при q12 → −m2). Поэто-

му формула (10.3.5) позволяет отождествить Ml с суммой всех диаграмм, внешние линии которых с импульсами q1, q2, ... отвечают операторам Ol, A2, ..., причем пропагаторы, отвечающие линии Ol, отброшены. Тогда формула (10.3.4) является обычным предписанием для вычисления матричного элемента испускания частицы в виде суммы фейнмановских диаграмм: нужно отбросить пропагатор частицы, заменив его сверткой с обычным множителем (2π)−3/2ul* äëÿ

внешней линии. Единственным отличием от обычных фейнмановских правил является множитель N.

Сформулированная выше теорема представляет собой знаменитый результат Лемана, Симанчика и Циммермана3, известный как редукционная формула. Мы доказали ее здесь несколько иным способом, позволяющим легко обобщить результат на случай произвольного спина. Важно отметить, что полученный результат применим к любым операторам; оператор Оl не обязан быть каким-то полем, реально входящим в лагранжиан, а частица, рождаемая этим полем, может быть связанным состоянием тех частиц, поля которых действительно входят в лагранжиан. Этот результат позволяет извлечь важный урок и в том случае, когда Ol является одним из полей Ψl из лагранжиана: если мы намерены использовать

обычные фейнмановские правила для вычисления матричных элементов S-матрицы, необходимо сначала переопределить нормировку полей множителем 1/N, так что (с извинениями за многократное использование символа Ψ в разных смыслах)

В общем случае нет оснований считать, что поле ΦB будет удовлет-

ворять условию (10.3.6), или что полюс по q2 будет находиться в точке −mB2, поэтому введем перенормированные поле и массу:

где Z выбирается так, что Φ удовлетворяет (10.3.6), а δm2 подбирается из условия, что полюс пропагатора находится в точке q2 = − m2.

(Использование символа Z в подобных случаях стало традицией; каждому полю в функции Лагранжа соответствует свое Z.) Теперь можно переписать лагранжиан (10.3.7) в виде

ãäå

V(Φ) ≡ VB (ZΦ) .

При вычислении поправок к точному * пропагатору в импульсном пространстве для перенормированного скалярного поля, обыч- но обозначаемому Δ′(q), удобно рассмотреть отдельно одночастично

неприводимые (1PI) диаграммы, т. е. такие связные диаграммы (исключая диаграмму, состоящую из одной скалярной линии), которые нельзя сделать несвязными путем разрезания любой одной внутренней скалярной линии. Пример показан на рис. 10.4. Принято, опуская пропагаторные множители −i(2π)−4(q2 + m2 − iε)−1 îò äâóõ

* Англоязычному термину complete propagator отвечают русскоязычные термины полный пропагатор или точный пропагатор. Мы отдаем предпочтение последнему. Встречающийся ниже термин bare propagator, так же как и авторский термин uncorrected propagator мы переводим как свободный пропагатор. – Прим. пер.

внешних линий, обозначать сумму всех таких диаграмм через i(2π)4∏*(q2), звездочка напоминает, что в это выражение входят

одночастично неприводимые диаграммы. Тогда поправки к точному пропагатору даются суммой цепочек из одной, двух, трех и более этих одночастично неприводимых поддиаграмм, соединенных обыч- ными свободными пропагаторными множителями

При вычислении ∏* мы учитываем древесные диаграммы, возни-

кающие от однократной вставки вершин, отвечающих слагаемым

âèäà ∂μΦ∂μΦ è Φ2 в (10.3.12) , а также слагаемое ∏*LOOP, возникаю-

щее от петлевых диаграмм типа показанной на рис. 10.4а:

При проведении вычислений самое простое – это сказать, что из петлевых слагаемых ∏*LOOP(q2) мы должны вычесть полином

первого порядка по q2 с коэффициентами, подобранными так, чтобы разность удовлетворяла условиям (10.3.17) и (10.3.18). Как будет видно далее, эта вычитательная процедура попутно сокращает бесконечности, возникающие от интегралов в импульсном пространстве, определяющих ∏*LOOP. Однако, как должно быть ясно, перенормировка

масс и полей непосредственно не имеет ничего общего с существованием бесконечностей и необходима даже в теории, в которой все интегралы в импульсном пространстве сходятся.

Важным следствием условий (10.3.17) и (10.3.18) является утверждение, что не нужно включать радиационные поправки во внешние линии на массовой оболочке, поскольку

Аналогичные замечания применимы к частицам произвольного спина. Например, лагранжиан «голого» дираковского поля имеет вид

(Индекс 2 у Z по традиции используется для обозначения константы перенормировки фермионного поля.) Тогда лагранжиан можно переписать в виде:

входящей фермионной линией с 4-импульсом k, и одной выходящей линией с тем же 4-импульсом, которые нельзя сделать несвязными, раз-резав любую внутреннюю фермионную линию, причем пропа-гаторное множители −i(2p)4 è [ik/ + m - ie]−1 для внешних ли-

ний опущены. (Здесь использована лоренцовская инвариантность, согласно которой å* есть обычная функция скалярной матрицы k/ º kμ g μ .) Тогда полный фермионный пропагатор имеет вид

S¢(k) = [ik/ + m - ie]−1 + [ik/ + m - ie]−1 å* (k/ )[ik/ + m - ie]−1

Условие, чтобы полный пропагатор имел полюс при k2 = −m2 ñ òåì

же вычетом, что и свободный пропагатор, имеет вид:

пределе k/ → im показывает, что на массовой поверхности можно

пренебречь радиационными поправками к внешним фермионным

линиям. Соответствующие результаты для фотонного пропагатора будут получены в разделе 10.5.

10.4.Перенормированный заряд

èтождества Уорда

Ñпомощью соотношений коммутации и законов сохранения для гейзенберговских операторов можно установить связь между зарядами (или аналогичными величинами) в плотности лагранжиана и свойствами физических состояний. Напомним, что инвариант-

ность плотности лагранжиана относительно глобальных калибро-

вочных преобразований Ψl → exp(iqlα)Ψl (с произвольной постоянной фазой α) влечет за собой существование тока

удовлетворяющего условию сохранения

Отсюда вытекает, что пространственный интеграл от временной компоненты Jμ не зависит от времени:

(Очень важное возможное исключение связано с тем, что интеграл (10.4.4) может не существовать, если в системе имеются дальнодействующие силы, обязанные безмассовым скалярам. Мы вернемся к этому вопросу при рассмотрении нарушенных симметрий в т. II.) Кроме того, поскольку Q является интегралом по пространству, эта величина явно трансляционно-инвариантна:

à òàê êàê Jμ — 4-вектор, Q инвариантен по отношению к однород-

ным преобразованиям Лоренца:

Отсюда следует, что оператор Q, действуя на истинный вакуум Ψ0,

дает другое лоренц-инвариантное состояние нулевой энергии и импульса, которое (в предположении, что вакуум невырожден) должно быть пропорционально самому Ψ0. Но константа пропорцио-

нальности должна обращаться в нуль, так как из лоренц-инвари- антности следует, что (Ψ0, JμΨ0) = 0. Отсюда получаем:

Кроме того, оператор Q, действуя на любое одночастичное состояние Ψp,σ,n, должен переводить его в другое состояние с теми же

энергией, импульсом и теми же трансформационными свойствами относительно преобразований Лоренца, и следовательно (предполагая отсутствие вырождения одночастичных состояний), в состояние, пропорциональное тому же одночастичному состоянию:

Лоренц-инвариантность Q гарантирует, что собственное значение q(n) не зависит от р и s, а зависит только от сорта частиц. Это собственное значение известно как электрический заряд (или ка- кое-то другое квантовое число, для которого Jμ может быть током)

одночастичного состояния. Чтобы связать его с параметрами ql в лагранжиане, заметим, что из канонических коммутационных соотношений следует

То же верно и для любой локальной функции F(y) заданного числа полей, их производных и сопряженных им величин: