Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

ãäå òîêè Jnμ являются либо внешними с-числовыми источниками,

либо зависят от других полей (в последнем случае в лагранжиан следует добавить вклад других полей). Простое обобщение результатов раздела 7.5 приводит к гамильтониану

В правую часть следует также добавить слагаемые от любых других полей, входящих в Jnμ . Коэффициент при квадратичном

слагаемом здесь несколько сложнее, чем в первом примере, и равен

но он не зависит от полей, так что множитель (Det А)−1/2 несущест-

вен. С другой стороны, лагранжиан (9.3.9) отличается от исходного: он выражается только через поля A и их производные по времени, но не содержит вовсе временных компонент A0 *. По этой причине лоренцовская инвариантность выражения (9.3.10) далеко не очевидна.

Чтобы исправить это положение, можно вновь ввести вспомогательное поле. Предположим, что мы добавили к гамильтониану слагаемое

DH = - 21 åm2n z d3xA0n - mn−2Ñ × Πn + mn−2J0n 2

n

* Это и неудивительно, поскольку мы имеем дело с теорией со связями (второго рода), и приведенный гамильтониан получен в результате разрешения этих связей, выражающих А0 через независимые поля А и сопряженные им канонические импульсы. — Прим. ред.

и проинтегрировали по An0, а также по Аn è Πn. Результатом этого

может быть только появление не зависящего от полей общего множителя, поскольку DH квадратично по А0 (с независящим от полей

коэффициентом в слагаемом второго порядка по А0) и его стационарное значение обращается в нуль. Однако предположим, что мы интегрируем по Πn до интегрирования по An0. Гамильтониан в фун-

кциональном интеграле (9.2.17) заменяется на

Он все еще квадратичен по Πn с не зависящим от поля

(и даже более простым) коэффициентом при квадратичном слагаемом, так что интеграл по всем Πn можно взять, просто заменив Πn на его значение в стационарной точке функционала ånòd3xΠ × A& n - H - DH:

Πn = A& n + ÑA0n .

Åñëè Πn исключить именно таким способом, то ånòd3xΠ × A& n - H - DH

есть в точности исходный лоренц-инвариантный лагранжиан.

Чтобы учесть возможную необходимость введения вспомогательных полей типа Аn0, будем с этого момента записывать формулу для функционального интеграла после исключения канонически сопряженных импульсов в терминах полей yl, включающих как ка-

нонические поля qn, так и вспомогательные поля cr:

VAC, out TlOA [YA (tA )],OB [YB(tB )], . . .q VAC, in

имея при этом в виду, что лагранжиан L может содержать слагаемые, возникающие от зависящих от полей множителей вида (Det А)−1/2.

9.4.Вывод фейнмановских правил

ñпомощью функциональных интегралов

Теперь мы готовы к тому, чтобы воспользоваться формализмом функциональных интегралов для вывода фейнмановских правил для широкого класса теорий. Нас будут интересовать средние по вакууму от хронологических произведений полевых операторов (и сопряженных им операторов)

из которых (как показано в разделе 6.4) можно получить матричные элементы S-матрицы, отбрасывая пропагаторы внешних линий, связанные с каждым из этих полей, заменяя их на коэффициентные функции, стоящие в качестве множителей перед операторами рождения и уничтожения в соответствующих выражениях для свободных полей, и суммируя по всем индексам этих коэффициентных функций.

Для простейших теорий, гамильтониан которых квадратичен по Π, находим с помощью формулы (9.3.11):

причем L включает теперь любые возможные слагаемые, возникающие от зависящего от поля детерминанта в формуле (9.3.10).

Предположим далее, что лагранжиан равен интегралу от плотности лагранжиана, содержащей квадратичное слагаемое L0,

а затем разлагая I1 по степеням полей. Интегралы, получающиеся в числителе и знаменателе формулы (9.4.2), имеют следующий общий вид:

где множители, содержащие поля ψl1 (x1)ψl2 (x2 ), и т. д. возникают из I1[ψ] и/или из полевых множителей ψlA (xA ) , изначально присутствующих в числителе (9.4.2). Если I0[ψ] имеет вид (9.4.8), инте-

грал (9.4.13) относится к тому же типу, что и интеграл, вычисленный в Приложении к данной главе, с той разницей, что дискретный индекс s заменен парой индексов l, x. Поэтому можно воспользоваться формулами (9.А.12) и (9.А.15), что дает

Это и есть ковариантные правила Фейнмана в координатном пространстве для вычисления числителя в формуле (9.4.2). Мы проводим разложение по взаимодействию I1, затем суммируем по всевозможным спариваниям полей в множителях I1 друг с другом и с полями ψl (xA ) и т. д., причем каждое спаривание дает вклад в виде интегралаAпо пространству−времени от произведения коэффициентных функций полей в I1[ψ] и произведения «пропагаторов» −i , ãäå

l1l2 (x1, x2 ) = (D−1)l1x1,l2x2 . (9.4.15)

(Множитель [Det(iD/2π)]−1/2 в формуле (9.4.14) представляет собой

вклад диаграмм с неограниченным числом одиночных петель, не связанных с другими линиями, но в любом случае этот множитель сокращается в отношении (9.4.2).)

Остается вычислить сами пропагаторы (9.4.15). Мы рассматриваем формулу (9.4.15) как интегральное уравнение

В отсутствие внешних полей в силу трансляционной инвариантности величина D с необходимостью есть функция только разности x1 − x2 и может быть записана в виде интеграла Фурье:

Решение уравнения (9.4.16) имеет тогда вид

ãäå D–1 — матрица, обратная к матрице D. Как будет показано, iε-

слагаемые приводят к тому, что такая обратная матрица хорошо определена для всех действительных значений р. Таким образом, задача вычисления пропагатора сведена к обращению конечномерной матрицы.

Рассмотрим сначала массивное скалярное поле. В этом случае D имеет вид (9.4.11). Можно записать его в виде интеграла Фурье

Dx,y = (2π)-4 z d4p eip×(x- y) cp2 + m2 − iεE(p)h ,

так что пропагатор равен

x,y = (2π)-4 z d4p eip×(x- y) cp2 + m2 − iεE(p)h−1 .

Видно, что это выражение совпадает со скалярным пропагатором, полученным ранее операторными методами. (Разница между ε è εE(p) несущественна, так как обе величины положитель-

ны и бесконечно малы.)

В качестве второго примера рассмотрим действительное массивное векторное поле. Невозмущенный лагранжиан равен

Вновь можно записать I0[ψ] в форме (9.4.8) с ядром

= (2π)-4 z d4p eip×(x- y) [ηrsp2 − prps + m2ηrs + iε − слагаемые] .

Мы не будем тратить здесь время на то, чтобы показывать, что «+iε-слагаемые» принимают простой вид −iεE(p)ηρσ. Тогда про-

пагатор векторного поля получается простым обращением матрицы 4×4 в последнем подинтегральном выражении:

(Слагаемые, пропорциональные ε, в числителе опущены. Они важны в

знаменателе, так как определяют, как следует рассматривать подынтегральное выражение вблизи массовой оболочки p2 = − m2.) Приве-

денное выражение совпадает с полученным операторными методами, если не считать того, что отсутствуют нековарантные слагаемые, пропорциональные δ(x0 − y0). Ранее эти нековариантные слагаемые были

нужны для того, чтобы сократить нековариантные добавки в гамильтониане взаимодействия. Теперь же вклады вершин в фейнмановских правилах получаются непосредственно из ковариантного лагранжиана, так что никакого сокращения не требуется.

Столь же просто рассматриваются теории с взаимодействием с производными. Множитель, возникающий от спаривания производной поля ∂μψl(x) с любым другим полем ψm(y) (которое само мо-

жет быть производной), имеет вид

У таких пропагаторов отсутствуют нековариантные части. Например, для действительного скалярного поля спаривание ∂μϕ ñ ∂νϕ приводит в результате к пропагатору в импульсном представлении kμkν/(k2 + m2 − iε). Кроме того, как мы видели в преды-

дущем разделе, вершины в теории скалярного поля, взаимодействие которого с другими полями содержит производные, можно непосредственно извлечь из лагранжиана, причем они по отдельности ковариантны.

9.5. Функциональные интегралы для фермионов

Займемся теперь обобщением формализма функциональных интегралов на теории, содержащие как бозоны, так и фермионы. В принципе, нетрудно действовать чисто формально по аналогии с бозонным случаем, и затем убедиться, что получились «правильные» фейнмановские правила. Мы предпочитаем вывести формализм функциональных интегралов для фермионов непосредственно из принципов квантовой механики, как это уже было сделано для бозонов 9.

Начнем с рассмотрения произвольной квантово-механической системы, описываемой «координатами» Qa и канонически сопряженными «импульсами» Pa, которые теперь удовлетворяют не коммутационным, а антикоммутационным соотношениям

(Эти операторы берутся в шредингеровском представлении, или, иначе говоря, в гейзенберговском представлении в момент времени t = 0.) Позднее мы заменим дискретный индекс a на пространственную координату x и полевой индекс m.

Прежде всего, построим полный базис состояний, на которые действуют операторы Q и P. Заметим, что при любом заданном a

Однако, существуют фермионные операторы (например, поля «духов», которые мы введем в т. II), для которых Pa никак не связаны с сопряженными к Qa операторами. В последующем нам не потребуются никакие особые предположения об операторах, сопряженных к Qa èëè Pa, а также о связи между á0| è |0ñ.

Полный базис в пространстве состояний этой системы состоит из |0ñ и (антисимметричных по a, b, ...) состояний

с любым числом различных Р, действующих на |0ñ. Это означает,

что результат действия на эти состояния любой операторной функции P и Q можно записать как линейную комбинацию того же набора состояний. В частности, если индекс a не совпадает ни с одним из индексов в |b, c, ...ñ, òî

С другой стороны, если a равно одному из индексов в последовательности b, c, ..., то всегда можно переписать это состояние (возможно, изменив его знак) так, что a станет первым из этих индексов, и тогда имеем:

Аналогично можно определить полный дуальный базис, состоящий из á0 | и (антисимметричных по индексам) состояний

Используя соотношения (9.5.4)−(9.5.6) и антикоммутационные соот-

ношения (9.5.1), видим, что скалярные произведения этих состояний равны