Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

3.Произведение всех указанных множителей интегрируется по 4-импульсам всех внутренних линий и суммируется по всем дираковским и пространственно-временным индексам.

4.Все результаты, полученные таким образом для каждой фейнмановской диаграммы, складываются. Могут понадобиться дополнительные комбинаторные множители и фермионные знаки, описанные в пп. 5 и 6 раздела 6.1.

Трудности при вычислении вкладов фейнмановских диаграмм резко нарастают с ростом числа внутренних линий и вершин, поэтому важно иметь представление о том, какие численные факторы подавляют вклады более сложных диаграмм. Мы оценим эти численные факторы, учитывая не только степени электрического заряда е, входящего в вершины, но и множители 2 и π от вершин,

пропагаторов и интегралов по импульсному пространству. Рассмотрим связную фейнмановскую диаграмму с V вершина-

ми, I внутренними линиями, Е внешними линиями и L петлями. Эти величины не являются независимыми, а связаны соотношениями, уже использованными в разделе 6.3:

L = I − V +1, 2I + E = 3V.

От каждой вершины имеем множитель e(2π)4, от каждой внутренней линии − множитель (2π)−4, кроме того, каждой петле соответст-

вует интеграл по четырехмерному импульсному пространству. Элемент объема в четырехмерном евклидовом пространстве, выраженный через радиальный параметр κ, равен π2κ2dκ2 *, так что каждая петля вносит множитель π2. Таким образом, диаграмма содержит

множитель

* Предполагается, что выполнен так называемый евклидов (виковский) поворот (см. ниже раздел 11.2), и интегрирование ведется по евклидову импульсному пространству. Кроме того, предполагается, что результат интегрирования не зависит от углов и по ним проведено усреднение (объем единичной сферы равен 2π2). — Ïðèì. ðåä.

480 Глава 8. Электродинамика

Число Е внешних линий в данном процессе фиксировано, поэтому видно, что параметр разложения, определяющий подавление вклада фейнмановских диаграмм с каждой дополнительной петлей, равен

К счастью, эта величина мала, так что можно добиться достаточ- ной точности, рассчитав вклад фейнмановских диаграмм с небольшим числом петель.

* * *

Следует добавить несколько слов о спиновых состояниях фотонов и электронов в реальных экспериментах, когда не каждая из частиц в начальном и конечном состояниях обладает определенной спиральностью или z-компонентой спина. Особенно это относится к фотонам, которые на практике часто находятся не в состоянии с определенной спиральностью, а в состоянии с поперечной или эллиптической поляризацией. Как показано в предыдущем разделе, векторы поляризации фотонов со спиральностью ±1 равны

ãäå R( $ ) − стандартное вращение, переводящее ось z по направле- p

нию вектора р. Эти состояния фотонов не единственно возможные; в общем случае состояние фотона есть линейная комбинация спиральных состояний Ψp,±1,

Чтобы вычислить матричный элемент поглощения или испускания такого фотона, нужно просто заменить eμ(p,±1) в фейнмановских

правилах на

Векторы поляризации с определенной спиральностью удовлетворяют условию нормировки

Предельными случаями являются круговая поляризация, для которой α− = 0 èëè α+ = 0, и линейная поляризация, для которой |α+| = |α−| = 12 . В последнем случае, подобрав общую фазу состояния (8.6.13), можно сделать α+ è α− комплексно сопряженными друг

Тогда в правилах Фейнмана нужно использовать вектор поляризации

Здесь ϕ − азимутальный угол вектора поляризации фотона в плос-

кости, перпендикулярной вектору р. Заметим, что в данном случае вектор поляризации фотона действителен, что возможно только

для линейной поляризации. Между крайними случаями круговой и линейной поляризаций находятся состояния эллиптической поляризации, для которых |a+| è |a−| не равны нулю и друг другу.

В более общем случае, начальный фотон может быть приготовлен как статистическая смесь спиновых состояний. В самом общем случае эта смесь может содержать любое число состояний произвольных поляризаций eμ(r) (p) , входящих с вероятностью Pr . Âå-

роятность поглощения такого фотона в данном процессе имеет вид

Поскольку очевидно, что r - эрмитова положительная матрица с единичным следом (так как årPr = 1), причем rν0 = r0μ = 0 è rνμpν = = rνμpμ = 0, ее можно записать в виде

ãäå eμ(p;s) - два ортонормированных собственных вектора матрицы r, для которых

à ls - соответствующие собственные значения, причем

ls ³ 0, åls = 1.

s=1,2

Теперь можно записать вероятность процесса поглощения фотона в следующем виде

Отсюда следует, что любая статистическая смесь начальных состояний фотона всегда эквивалентна смеси всего двух ортонормированных поляризацийм eν(p;s) c вероятностями λs.

В частности, если мы совершенно ничего не знаем о поляризации начального фотона, то две вероятности λs для векторов eν(p;s) равны, так что λ1 = λ2 = 1/2, и матрица плотности (а отсю-

да и вероятность поглощения) есть среднее значение по начальным поляризациям:

s=1,2

Êсчастью, этот результат не зависит от конкретной пары векторов

поляризации ei(p;s), по которым мы проводим усреднение. Для неполяризованных фотонов можно усреднять вероятность поглощения по любой паре ортонормированных векторов поляризации. Аналогично, если не делается попыток измерить поляризацию фотона в конечном состоянии, тогда вероятность можно рассчитать путем суммирования по любой паре ортонормированных векторов поляризации конечного фотона.

Аналогичные замечания применимы к электронам и позитронам. Если, как это обычно имеет место, не делается попыток приготовить электрон или позитрон так, чтобы одни спиновые состояния были предпочтительнее других, тогда вероятность должна вычисляться путем усреднения по любым двум ортонормированным на-

чальным спиновым состояниям, например, по состояниям с z-ком- понентами спина σ = ±1/2. Если не пытаются измерить спиновые

состояния конечных электрона или позитрона, то нужно суммировать вероятность по любым двум ортонормированным конечным

спиновым состояниям, например, по состояниям с z-компонентами спина σ = ±1/2. Такие суммы можно вычислить с помощью соотно-

шений (5.5.37) и (5.5.38):

Общее определение (3.3.2) «фейнмановской амплитуды» М в данном случае (поскольку предполагается, что какое-то рассеяние происходит) принимает вид

Дифференциальное сечение определяется через М формулой (3.4.15), которая в данном случае имеет вид

Так как одна из частиц имеет нулевую массу, из формулы (3.4.17) для относительной скорости находим:

Чтобы продолжить вычисления, удобно перейти в специальную систему отсчета. Поскольку электроны в атомах являются нерелятивистскими, в опытах по рассеянию фотонов больших энергий (рентгеновских лучей или g-квантов) на электронах обычно (хотя и не все-

гда) можно считать, что начальный электрон покоится. Примем здесь именно эту систему отсчета, так что

Тогда скорость (8.7.8) равна просто

Чтобы запись была компактнее, обозначим энергии фотонов через

Наличие дельта-функции от 3-импульса в формуле (8.7.7) позволяет проинтегрировать по p′, полагая p′ = k - k′. В результате остается

дельта-функция от энергии

d(p¢0 + k¢0 - p0 - k0 ) = d((k - k¢)2 + m2 + w¢ - m - w) . (8.7.13)

Этим фиксируется значение w′, удовлетворяющее условию

w2 - 2ww¢ cos q + w¢2 + m2 = w + m - w¢ .

ãäå q - угол между k и k′. Возводя обе части в квадрат и сокращая слагаемые w′2, получаем *

Кроме того, дифференциал d3k′ можно записать как

* Эквивалентно эту формулу можно записать в виде, свидетельствующем об увеличении длины волны при рассеянии:

Проверка этого соотношения А. Комптоном в 1922-23 годах в опытах по рассеянию рентгеновских лучей на электронах сыграла ключевую роль в подтверждении гипотезы Эйнштейна 1905 года о световых квантах, полу- чивших вскоре после обнародования Комптоном результатов своих экспериментов название фотонов.

ãäå dΩ — телесный угол, в который рассеивается конечный фотон.

Оставшаяся в (8.7.15) дельта-функция служит как раз для того, чтобы исключить дифференциал dω′ в (8.7.16), и мы приходим к диффе-

ренциальному сечению

ãäå p′0 = m + ω − ω′, è ω′ определяется формулой (8.7.14).

Обычно z-компоненты спина начального или конечного электрона не измеряются. В таких случаях следует просуммировать по σ′ и усреднить по σ, или иными словами вычислить полусумму по σ è σ′:

dσ(p + k, e → p′ + k′, e) ≡ 21 ådσ(p, σ + k, e → p′, σ′ + k′, e) . (8.7.18)

σ′,σ

Чтобы вычислить эту сумму, воспользуемся стандартной формулой

и аналогичной формулой для суммы по σ′. Согласно этим формулам, для произвольной 4×4 матрицы А имеем:

=å Aβα uα (p, σ)uγ (p, σ)(βA†β)γδ uδ (p′, σ′)uβ (p′, σ′)

σ,σ′

(8.7.20)

Напомним, что βγμ†β = −γμ, тогда, подставляя А из формулы (8.7.6),

получаем: