Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

представлении между собственными состояниями с определенной энергией. *

Теперь необходимо установить, как вычислять волновые функции, являющиеся последними двумя множителями правой части формулы (9.2.3). Рассмотрим сначала простейший и наиболее важный случай — вакуум. (В разделе 6.4 мы видели, что элементы S-матрицы легко вычисляются через средние по вакууму от хронологических произведений.) Предположим, как обычно, что при t → ±∞ матричные элементы вычисляются так, как будто нет ника-

кого взаимодействия.Таким образом, «ин»- и «аут»-вакуумы могут быть определены условиями

где операторы ain è aout являются коэффициентами при экспоненте exp(ip×x − iEt) в разложении оператора Qm(x,t) по плоским волнам при t → −∞ è t → +∞, соответственно. Например, в случае действительного

скалярного поля, отвечающего нейтральной бесспиновой частице, имеем

* Для доказательства необходимо лишь заметить, что если гамильтониан имеет вид H[P(t), Q(t)] + åA z d3x eA (x, t)OA (x, t) , то S-матрица определяется

согласно (9.2.3) следующим образом:

´ b, out q(+¥);+¥q(-¥);-¥ a, in .

Левая часть формулы (6.4.3) равна производной этого выражения по ea, eb è ò. ä. ïðè e = 0, что дает правую часть формулы (9.2.3). Вновь используя (9.2.3),

приходим к правой части формулы (6.4.3).

ãäå ε − бесконечно малая положительная величина. При получении

окончательного выражения, мы воспользовались тем фактом, что для любой достаточно гладкой функции f(τ)

Подставляя представление (9.2.14) в формулу (9.2.3), получаем:

VAC, out T{OA Π(tA ), Φ(tA ),OB Π(tB ), Φ(tB ), . . . VAC, in

В разделе 9.4 мы увидим, что совокупный эффект от последнего слагаемого в показателе экспоненты в правой части формулы (9.2.16) заключается в появлении добавки −iε в знаменателе пропагатора скалярного поля в импульсном пространстве: [p2 + m2 − iε]−1. Ìû íå

будем вдаваться в детали соответствующих вычислений для полей произвольного спина, а просто укажем, что в общем случае

VAC,out T{OA PA(tA), Q(tA),OB PB(tB), Q(tB), . . . VAC, in

Здесь «ie-слагаемые» приводят к появлению правильной добавки -ie

в знаменателях всех пропагаторов.

Сейчас уместно отметить, что не зависящие от полей множители в (9.2.17), типа константы |N |2, несущественны. Дело в том, что они дают вклад и в матричный элемент перехода áVAC, out|VAC, inñ.

При вычислении связной части средних по вакууму от хронологи- ческих произведений (или S-матрицы) мы избавляемся от вклада несвязных поддиаграмм вакуумных флуктуаций путем деления на áVAC, out|VAC, inñ, так что все постоянные множители в вакуум-

ных средних сокращаются.

Можно продвинуться дальше и вычислить матричные элементы между многочастичными состояниями, подставив соответствующие «волновые функционалы» в формулу (9.2.3). Последние можно вычислить, подействовав на вакуумное состояние сопряженными операторами к операторам уничтожения вида (9.2.7).

Как и для гармонического осциллятора, такие волновые функционалы оказываются полиномами Эрмита по полям, умноженными на вакуумный гауссиан. Мы не будем развивать далее эти вы- числения, поскольку, как показано в разделе 6.4, все, что нужно для вычисления матричных элементов S-матрицы, это знание средних по вакууму (9.2.17).

9.3. Лагранжева форма функционального интеграл

Подынтегральное выражение в показателе экспоненты в формулах (9.1.38) или (9.2.17) похоже на лагранжиан L для гамильтониана Н. Это сходство до некоторой степени вводит в заблуждение, так как «импульсы» pa(t) èëè pn(x,t) являются независимыми переменными, еще не связанными с qa(t) èëè qn(x,t) или их производными.

Однако существует большой и важный класс теорий, в которых интеграл по «импульсам» может быть взят путем простой замены их на те значения, которые диктуются каноническим формализмом. В этом случае подынтегральное выражение в показателе экспоненты в интегралах по путям действительно совпадает с лагранжианом.

Гамильтониан таких теорий квадратичен по «импульсам», т. е. на языке теории поля

нескольких скалярных полей приводит к гамильтониану

(Здесь скалярные поля Fn выбраны действительными скалярами,

однако можно включить в рассмотрение и комплексные скалярные поля, разделив их на действительную и мнимую части.) В общем случае возникает нетривиальное слагаемое, линейное по Pn, íî êî-

эффициент в квадратичном слагаемом есть константа, равная просто единичной «матрице»

Àxn,x′n′ = d4 (x - x¢)dnn′ .

В данном случае множитель cDet 2ipA [q] h−1/2 â (9.3.10) åñòü

независящая от полей константа, не влияющая на результаты. Однако не всегда все так просто. В качестве второго примера рас-

смотрим так называемую нелинейную s-модель, лагранжиан которой

L = - 21 å¶λ Fn¶λ Fm dnm + Unm(F) - V(F) .

nm

Прямое вычисление приводит к гамильтониану

Здесь А - зависящая от полей величина

Ànx,my = 1 + U(F(x)) −nm1 d4 (x - y) .

В подобных случаях детерминант может быть записан в виде вклада в эффективный лагранжиан, если воспользоваться соотношением Det А = exp Tr lnА. Заменяя пространственно-временной континуум дискретной решеткой точек посередине отдельных про- странственно-временных областей очень малого объема W, можно

интерпретировать дельта-функцию в Аnx,my следующим образом: d4(x - y) = W−1dx,y, òàê ÷òî

(lnÀ)nx,my = dx,y ln(1 + U(F(x))) - 1 × ln Wnm ,

где логарифм матрицы определяется своим разложением в ряд

Чтобы вычислить след, заметим, что åx ... = W−1òd4x ... . Тогда

детерминант равен

DetÀ µ exp -W−1 z d4x tr ln 1 + U(F(x)) ,

где символ «tr» означает след в обычном матричном смысле. Коэффициент пропорциональности (возникающий из слагаемого -ln W) íå

зависит от поля и поэтому не представляет интереса.

Можно рассматривать этот детерминант как поправку к эффективному лагранжиану

DL = - 21 iW−1tr ln1 + U(F(x)) .

Множитель W−1 можно представить в виде ультрафиолетово

расходящегося интеграла

W−1 = d4 (x - x) = (2p)−4 z d4p × 1 .

Мы не будем этого показывать, но дополнительные слагаемые в фейнмановских диаграммах для такой теории, связанные с поправкой DL, можно вывести и в рамках канонического формализма, учи-

тывая слагаемые от одновременных коммутаторов в пропагаторе производных по времени скалярного поля 7. Пренебрежение этой поправкой приводит к ложной зависимости S-матрицы от способа определения скалярного поля, и, кроме того, несовместимо с любой симметрией лагранжиана относительно преобразований скалярного поля.

Даже в случае, когда множитель (Det А)−1/2 в формуле (9.3.10)

для функционального интеграла не зависит от полей, лагранжиан в этой формуле может отличаться исходного. Например, рассмотрим теорию нескольких действительных векторных полей с плотностью лагранжиана