Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям (7.1.1)−(7.1.3).

В случае комплексного скалярного поля частицы спина нуль, не совпадающей со своей античастицей, коммутационные соотношения имеют вид

[ϕ(x), ϕ† (y)]− = (x − y) , [ϕ(x), ϕ(y)]− = 0 .

Отсюда можно определить канонические переменные для свобод-

удовлетворяющие коммутационным соотношениям (7.1.1)−(7.1.3).

Для действительного векторного поля частицы спина единица коммутационные соотношения были выписаны в разделе 5.3:

можно определить квантово-механическую функциональную производную. Именно, для произвольного бозонного функционала F[q(t),p(t)] от операторов qn(x,t) è pn(x,t) при фиксированном времени t мы определяем *

Это определение мотивируется тем, что если записать F[q(t),p(t)] так, что все q окажутся слева от всех p, то (7.1.17) и (7.1.18) являются, соответственно, левыми и правыми производными по qn è pn. Иначе говоря, для произвольной с-числовой ** вариации δq è δp операторов q и p имеем:

Для более общих функционалов следует дополнить определения (7.1.17) и (7.1.18) различными знаками и коммутаторами при равных временах.

В частности, H0 является генератором трансляций по времени, действующим на свободные частицы в следующем смысле:

* Здесь используются обозначения, употребляемые далее по всей книге. Если f(x,y) есть функция двух классов переменных, коллективно обозначенных x и y, то F[f(y)] означает функционал, зависящий от значений f(x,y) при всех x, но при фиксированном y. Бозонным мы называем такой функционал, в котором каждое слагаемое содержит только четное число фермионных полей.

** Åñëè qn è pn − бозонные или фермионные операторы, то считается, что δqn è δpn соответственно коммутируют или антикоммутируют со всеми фер-

мионными операторами и коммутируют со всеми бозонными операторами.

так что операторы свободных частиц зависят от времени по закону:

Мы узнаем в этих выражениях всем известные динамические уравнения гамильтонова формализма.

Гамильтониан свободных частиц задается, как всегда, выражением

Его можно переписать через q и p, взятые в момент времени t. Например, легко видеть, что для действительного скалярного поля выражение (7.1.23) с точностью до постоянного слагаемого равно функционалу

Более аккуратно, используя (7.1.7) и фурье-разложение скалярного поля j, находим, что (7.1.24) принимает вид

(7.1.25) Это выражение совпадает с (7.1.23), если не считать бесконечного постоянного слагаемого. Подобные слагаемые влияют только на выбор начала отсчета энергии, и в отсутствие гравитации не имеют физического значения *.

* Однако изменения таких слагаемых, обусловленные изменением граничных условий на поля, как например, при квантовании полей не во всем пространстве, а в пространстве между параллельными пластинами, не только физически значимы, но и были измерены 1.

продвинуться далее и показать, что это же верно для взаимодействующих полей. Можно ввести канонические переменные в так называемом «гейзенберговском представлении», определяемом соотношениями

ãäå Í − полный гамильтониан. Поскольку это пребразование подо-

бия, коммутирующее с Н, то полный гамильтониан является таким же функционалом от операторов в гейзенберговском представлении, каким он был как функционал от q и p:

H[Q, P] = eiHtH[q, p]e− iHt = H[q, p] .

Кроме того, поскольку (7.1.28)−(7.1.29) определяют преобразование

подобия, операторы в гейзенберговском представлении вновь удовлетворяют каноническим коммутационным или антикоммутационным соотношениям:

Однако зависимость от времени этих операторов имеет вид

Например, можно выбрать гамильтониан действительного скалярного поля в виде суммы гамильтониана (7.1.24) свободных частиц

и интеграла от скалярной плотности гамильтониана H, так что в терминах гейзенберговского представления гамильтониан запишется в виде:

Однако далее мы увидим, что в общем случае соотношение между канонически сопряженными импульсами Pn(x) и полевыми переменными и их производными по времени не такое, как для операторов свободных полей, а должно выводиться из уравнений (7.1.33) и (7.1.34) *.

7.2. Лагранжев формализм

Как мы видели, многие реалистичные теории укладываются в рамки канонического формализма. Поэтому возникает вопрос о выборе гамильтониана. В следующем разделе будет показано, что простейший способ обеспечить лоренц-инвариантность и другие симметрии заключается в том, чтобы выбрать подходящей лагранжиан и получить из него гамильтониана. При такой процедуре не происходит потери общности. Имея реалистичный гамильтониан, мы, как правило, можем реконструировать тот лагранжиан, из которого данный гамильтониан выводится, обратив описанный ниже процесс перехода от лагранжиана к гамильтониану. (Вывод формулы (7.1.26) - один из примеров такой

реконструкции.) Но хотя мы и можем переходить от гамильтонианов к лагранжианам и наоборот, все же проще исследовать физически удовлетворительные теории, перебирая не гамильтонианы, а возможные лагранжианы.

* Предполагается, что уравнения движения заданы в гамильтоновой форме. — Прим. ред.

396 Глава 7. Канонический формализм

В общем случае лагранжиан есть функционал * L[Ψ(t), Ψ& (t)] от множества произвольных полей Ψl(x,t) и их производных по време-

Полезно переформулировать эти полевые уравнения в форме вариационного принципа. Определим функционал от поля Ψl(x) во всем пространстве−времени, называемый действием:

−∞

*Напомним, что в используемых нами обозначениях функционал типа L,

âкотором явно указывается переменная t, понимается как зависящий от полей Ψl(x,t) è Ψ& l (x, t) , причем не выписанные переменные l и x пробегают

все возможные значения при фиксированном значении указанной переменной t. Мы используем заглавные буквы Ψ è Π, чтобы подчеркнуть, что это не

свободные, а взаимодействующие поля.

**Так как в общем случае Ψ è Ψ& не удовлетворяют простым соотношени-

ям коммутации или антикоммутации, мы не можем дать простого определения возникающих здесь функциональных производных по аналогии с функциональными производными по Q и P в предыдущем разделе. Вместо этого договоримся, что вариационные производные таковы, какие они должны быть для с-числовых переменных, с добавлением знаков «минус» и коммутаторов или антикоммутаторов при равных временах, необходимых для того, чтобы формулы стали квантово-механически корректными. Насколько я знаю, с деталями этого вопроса не связано никаких особых проблем.