Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

Квантовая теория поля

Файл:

-i(p - k/ ) + m O

(p - k)2 + m2 - ie Q

.pdf

Скачиваний:

476

Добавлен:

15.08.2013

Размер:

50 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 6768 / 8468 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 > Следующая >>>

11.2. Поляризация вакуума

649

массы, то в Z3 - 1 появятся дополнительные конечные слагаемые, возникающие от произведения полюса в G(2 - d/2) и слагаемого (4- d) ln m в разложении m4−d по степеням (4 - d). Однако и они сокращаются с аналогичными слагаемыми в однопетлевом вкладе в p(q2).

Единственные слагаемые, реально дающие вклад в p(q2) в пределе d ® 4, возникают от произведения полюса в G(2-d/2) и линейных слагаемых в разложении [m2 + q2x(1-x)]d/2–2 è (m2)d/2–2 по степеням d - 4:

d 2−2

−

q2x(1

- x)I

dm2 + q2x(1 - x)i

(m2 )d 2

® bd 2

- 2g lnG

1 +

J .

(11.2.21)

В результате приходим к выражению

q2x(1 - x)I

p(q

) =

x(1 - x) lnG1

J dx .

(11.2.22)

Физический смысл поляризации вакуума раскрывается, если рассмотреть влияние этого эффекта на рассеяние двух заряженных частиц спина 1/2. Фейнмановские диаграммы на рис. 11.3 дают следующие вклады в матричный элемент рассеяния:

Sa (1,2 ® 1¢,2¢) = (2p)−12/2 d4 (p1′ + p2′ - p1 - p2 ) e1(2p)4 u1′ g μ u1

L	−4 1			O			4
L				O

´ M-i(2p)			2	P	×	e1(2p)	u2′ g μ u2	,
N		q		Q

Sb (1,2 ® 1¢,2¢) = (2p)−12/2 d4 (p1′ + p2′ - p1 - p2 ) e2(2p)4 u1′ g μ u1

−4 1

´ M-i(2p)

i(2p) (q

hμν - qμqν )p(q

)

e2(2p)

u2′ g

ãäå å1 è å2 — заряды рассеивающихся частиц, p(q2) вычисляется по

формуле (11.2.22), причем в качестве е следует взять заряд частицы, которой отвечают линии, образующие петлю на рис. 11.3, qμ — передаваемый импульс, q º p1 − p1′ = p2′ − p2. С учетом закона сохранения qμ u1′ g μ u1 = 0 обе диаграммы совместно приводят к выраже-

нию для элемента S-матрицы:

650	Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

Рис. 11.3. Две диаграммы рассеяния заряженных частиц. Линии со стрелками отвечают заряженным частицам, волнистые линии — фотонам. Диаграмма б является поправкой низшего порядка, учитывающей эффект поляризации вакуума, к древесной диаграмме а

(1,2 ® 1¢,2¢) =

−ie1e2

+ p(q2 )]d4 (p

+ p

- p

- p )

4p2q2

a+b

1¢

2¢

(11.2.23)

g m u

2¢

1¢

В нерелятивистском пределе

1g 0 u1 g - i ds1¢s1

, à

1γ i u1 g 0

(анало-

гично для частицы 2). Кроме того, в этом пределе можно пренебречь

q0 по сравнению с |q|. Тогда формула (11.2.23) принимает вид

(1,2 ® 1¢,2¢) =

−ie1e2

+ p(q2 )]d4 (p

+ p

- p

- p )d

s¢s1

a+b

4p2q2

1¢

2¢

s¢2s2

(11.2.24)

Это выражение можно сравнить с борновским приближением для матричного элемента рассеяния на локальном, не зависящем от спина центральном потенциале V(r):

′

) = −2πiδ(E1¢ + E2¢

′

) . (11.2.25)

SÁîðí (12, → 1 ,2

− E1 − E2 )TÁîðí (1,2 → 1 ,2

(1,2

® 1¢,2¢) = d

1 1

2 z

d3x

Vb| x

- x

Áîðí

s¢s

s¢ s

(11.2.26)

´ (2p)-12/2 e-ip1′ ×x1 e-ip2' ×x2 eip1 ×x1 eip2 ×x2 .

Полагая x1 = x2 + r, получаем

−i

d4 (p

+ p

- p

s¢s

s¢ s

d3r V(r)e-iq×r

Áîðí

4p2

1¢

2¢

1 1

. (11.2.27)

11.2. Поляризация вакуума

651

Сравнение этой формулы с формулой (11.2.23) показывает, что в нерелятивистском пределе диаграммы рис. 11.3 приводят к такому же матричному элементу рассеяния, что и потенциал V(r), такой, что

z d3r V(r)e-iq×r = e1e2 1 + p(q2 ) q2

или, обращая фурье-преобразование,

V(r) = e e	X	3		iq×r L1	+ p(q2 ) O
	Y d		q e					.
				M		2	P		(11.2.28)
1 2 Z
				N	q		Q

В первом порядке по радиационным поправкам * выражение (11.2.28) определяет ту же потенциальную энергию, что и энергия электростатического взаимодействия двух пространственных распределений зарядов e1h(x) è e2h(y) на расстоянии r:

X	3	X	3		η(x)η(y)
V(\| r\| ) = e1e2 Y	d x	Y d		y		,	(11.2.29)
V(\| r\| ) = e1e2 Y	d x	Y d		y	4p\| x - y + r\|	,	(11.2.29)
Z		Z			4p\| x - y + r\|
ãäå
h(r) = d3 (r) +	1		d3q p(q2 ) eiq×r .				(11.2.30)

	2(2p)3 z
	2(2p)3 z

Заметим, что

z d3r h(r) = 1 + 21

p(0) = 1,

(11.2.31)

так что полные заряды частиц 1 и 2, определяемые по (кулоновской) асимптотике потенциала V(r) на больших расстояниях, — это те же константы е1 è å2, которые определяют взаимодействия перенормированного электрического поля.

Ïðè |r| ¹ 0 интеграл (11.2.30) можно вычислить с помощью кон-

турного интегрирования:

* Т. е. по параметру е2. — Ïðèì. ðåä.

652

Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

-mr

h(r) = -

x(1 - x)dxM1

P expG

J .

x(1 - x) Q

x(1 - x) K

Это выражение везде отрицательно. Однако мы видели, что интеграл от h(r) по всем r равен +1. Поэтому функция h(r) должна содержать слагаемое (1+L)d3(r), которое сингулярно при r = 0, а L

выбрано так, чтобы удовлетворить соотношению (11.2.31):

X d3r X1

-mr

L =

x(1 - x)dxM1

P expG

J . (11.2.32)

x(1 - x) Q

x(1 - x) K

Соответственно полное выражение для плотности распределения заряда имеет вид:

mr O

-mr

h(r) = (1

+ L)d3

(r) -

x(1

- x)dx 1

exp

x(1 - x) Q

x(1 - x) K

(11.2.33)

Физическая интерпретация этого результата заключается в том, что голый точечный заряд притягивает из вакуума частицы с противоположным зарядом и отталкивает на бесконечность соответствующие античастицы, так что голый заряд частично экранируется. В результате перенормированный заряд становится в 1/(1+L) раз меньше. В качестве проверки заметим, что если обрезать расходящийся интеграл (11.2.32), полагая, что он берется только по области r ³ a, то расходящаяся при a ® 0 часть интеграла равна

L∞	=	e2		ln a−1 .	(11.2.34)
			2
	12p

Следовательно, если отождествить обрезание L в импульсном пространстве * с а−1, то расходящаяся часть в L окажется связанной с расходящейся частью Z3 − 1 соотношением

* Коротко его называют импульсом обрезания. — Прим. ред.

11.2. Поляризация вакуума	653
(Z3 − 1)¥ = −2L¥ ,	(11.2.35)

поскольку в порядке е2 перенормированный заряд (10.4.18) дается выражением

= Z1/2e

− 1)I e

+ L)

-1e

(11.2.36)

Формула (11.2.35) подтверждается ниже.

Поляризация вакуума оказывает заметное влияние на энергети- ческие уровни мюонных атомов. Как будет показано в гл. 14, диаграмма рис. 11.3, б приводит к сдвигу энергии атомного состояния с волновой функцией ψ(r) на величину

E = z d3 r V(r) | ψ(r)|2 ,

(11.2.37)

где V(r) — добавочное к кулоновскому слагаемое в потенциале (11.2.28):

	e e	X	L	π(q2 ) O
V(r) =	1 2	Y d3q eiq×r M				P .	(11.2.38)
V(r) =	3	Y d3q eiq×r M			2	P .	(11.2.38)
	(2π)	Z	N	q		Q

Ïðè r . m−1 эта добавка экспоненциально уменьшается. С другой

стороны, волновая функция электронов в обычных атомах в общем случае сосредоточена в значительно большей области радиусом а . m−1. Например, для орбит электронов вокруг ядра зарядом Ze

в водородоподобном атоме a = 137/(Zm) (здесь m = me). Поэтому сдвиг энергетического уровня будет зависеть только от поведения волновой функции в области r n a. Если орбитальный момент равен l, волновая функция ведет себя как rl при r n a, так что из (11.2.37) находим, что E пропорционально множителю (ma)–(2l+3). Отсюда эффект поляризации вакуума для случая l = 0 много больше, чем для более высоких угловых моментов. При l = 0 волновая функция приблизительно постоянна и равна ψ(0) для r, меньших или порядка m−1, так что формула (11.2.37) принимает вид

E =| ψ(0)|2 z d3r V(r) .

(11.2.39)

654	Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

С учетом формул (11.2.38) и (11.2.22) интеграл от добавки к потенциалу (при e1e2 = −Ze2) имеет вид:

z d3r DV(r) = -Ze2p¢(0) = -	4Za	2
			.	(11.2.40)
		2
15m

Кроме того, для состояний водородоподобного атома с l = 0 и главным квантовым числом n волновая функция в начале координат принимает значение

y(0) =	2	F	ZamI		3/2
		G		J	.	(11.2.41)


	4p H		n K

Поэтому энергетический сдвиг (11.2.39) оказывается равным

DE = -	4Z4a5m	.	(11.2.42)

	15pn3

Например, для 2s состояния атома водорода этот сдвиг равен –1,222 × 10–7 эВ, что соответствует сдвигу частоты DE/2p$, равному

–37,13 МГц. Иногда этот эффект называют эффектом Юлинга 4. Как обсуждалось в гл. 1, эти ничтожные сдвиги энергии оказалось возможным измерить, поскольку в отсутствие разных радиационных поправок чисто дираковская теория предсказывает полное вырождение 2s и 2p состояний атома водорода. В гл. 14 будет показано, что основная часть «лэмбовского сдвига» между 2s и 2p состояниями, равная +1058 МГц, обусловлена другими радиационными поправками, но согласие между теорией и экспериментом достаточно для того, чтобы убедиться в наличии сдвига –37,13 МГц, обязанного поляризации вакуума.

Хотя в обычных атомах поляризация вакуума определяет лишь малую часть радиационных поправок, она становится определяющей в радиационных поправках для мюонных атомов, в которых вместо электрона на орбите находится мюон. Это происходит потому, что по размерным соображениям большинство радиационных поправок приводит к энергетическим сдвигам уровней мюонных атомов, которые пропорциональны mμ, в то время как суммарная энергия поляризации вакуума òd3r DV за счет электронной петли остается пропорциональной me−2, как в формуле (11.2.40), что приво-

11.3. Аномальные магнитные моменты

655

дит к сдвигу энергетического уровня на величину mμ3me−2 =(210)2mμ.

Однако в этом случае радиус мюонной орбиты ненамного больше комптоновской длины волны электрона, так что приближенный результат (11.2.39) дает лишь порядок величины сдвига энергии за счет поляризации вакуума.

* * *

Имея в виду сравнение с последующими вычислениями, заметим, что если обрезать интеграл (11.2.7) на κ = Λ, то вместо (11.2.20) мы

придем к интегралу вида

d−5

e2 μd−4 − Λd−4

− 1)

∞

= −

dκ =

π2

d − 4

ãäå μ − эффективное инфракрасное обрезание порядка массы заря-

женной частицы в петле на рис. 11.1. (Простейший способ определения постоянного множителя в этом выражении состоит в требовании, чтобы его предел при d < 3 и Λ → ∞ совпадал с (11.2.20).) Введя такое обрезание, можно перейти к пределу d → 4, получая при

ýòîì

(Z3 − 1)∞ = −	e2	lnaΛ μf .	(11.2.43)
	6π2

11.3Аномальные магнитные моменты

èзарядовые радиусы

Âкачестве следующего примера вычислим изменение магнитного момента и зарядового радиуса электрона или мюона за счет радиационных поправок низшего порядка. Однопетлевые диаграммы и диаграмма перенормировки фотон-лептонной вершины показаны на рис. 11.4. Как обсуждалось в разделе 10.3, те из этих диаграмм, которые содержат вставки во внешние входящие или выходящие лептонные линии, обращаются в нуль, поскольку лептон находится на массовой поверхности. Диаграмма, содержащая вставку во внешнюю фотонную линию, описывает обсуждавшийся

656	Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

в предыдущем разделе эффект поляризации вакуума. Таким образом, надлежит вычислить единственную однопетлевую диаграмму (последнюю на рис. 11.4):

μ	X		4			ρ		4	L	-i
μ	X		4			ρ		4	L	-i
G1LOOP	(p¢, p) = Y	d		k	eg		(2p)		M
	Z								N(2p)4

-i(p/ ¢ - k/ ) + m	O	g	μ
-i(p/ ¢ - k/ ) + m	O		μ
	P
(p¢ - k)2 + m2 - ie Q
(p¢ - k)2 + m2 - ie Q

ρ (2p)4	L	-i	1	O	(11.3.1)

	M			P ,

	N(2p)4 k2 - ie Q

ãäå ð′ и р — 4-импульсы конечного и начального лептонов, соответ-

ственно. (Вклад от вершины, связывающей внешнюю фотонную линию с внутренними электронными линиями, берется равным gμ, т. к. множитель е(2p)4 был включен в определение Gμ.)

Выписанный интеграл очевидно содержит ультрафиолетовую расходимость типа òd4k/(k2)2. В отличие от поляризации вакуума,

здесь не нужно прибегать к специальным процедурам типа размерной регуляризации, чтобы сохранить требуемую калибровоч-

Рис. 11.4. Однопетлевые диаграммы для фотон-лептонной вершинной функции Γμ. Волнистые линии изображают фотоны, остальные линии —

электроны или мюоны. Диаграммы а и б сокращаются вкладом контрчленов перенормировки лептонного поля, диаграмма в происходит от поляризации вакуума, вычисленного в разделе 11.2, вклад диаграммы д вычисляется в разделе 11.3

11.3. Аномальные магнитные моменты

657

ной инвариантностью структуру, поскольку фотон − нейтральная

частица. Поэтому интеграл можно сделать конечным подходящей модификацией фотонного пропагатора (например, путем включе- ния множителя M2/(k2 + M2) с большой регуляри-зующей массой М), не вводя для сохранения калибровочной инвариантности никаких других изменений. Более того, мы увидим, что аномальный магнитный момент и зарядовые радиусы можно вычислить, вообще не учитывая ультрафиолетовые расходимости. В последующем изложении оставим все интегралы для вершинной функции в их расходящейся форме, понимая при этом, что при необходимости любой расходящийся интеграл можно выразить через регуляризующую массу М.

Начнем с объединения знаменателей, используя описанную в Приложении к этой главе расширенную версию формулы Фейнмана:

1		1	x				−3 .
	= 2z		dxz	dy	Ay + B(x − y) + C(1	− x)		(11.3.2)
ABC
	0		0

Применяя ее к знаменателям в формуле (11.3.1), находим:

(p′ − k)2 + m2 − iε

(p − k)2 + m2 − iε

k2 − iε

= 2X1 dx

Xx dy

(p′ − k)2 + m2 − iε

y +

− k)2

+ m2 − iε (x

− y)

−3

+ ck2 − iεh(1 − x)

′

y − p(x − y)f

+ q

y(x − y) − iε

−3

= 2Y dx Y

ak − p

+ m

(11.3.3)

ãäå q = p − p′ — переданный фотону импульс. После сдвига пере-

менной интегрирования

k → k + p′y + p(x − y)

интеграл (11.3.1) принимает вид

658 Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

μ		2ie2	X1	Xx	X	d4k
Γ1LOOP	(p′, p) =		Y dx	Y dy	Y
		(2π)4				k2 + m2x2 + q2y(x − y) − iε
			Z	Z	Y		3
			0	0	Z

× γ

−ibp/ ′(1

− y)

− p/ (x − y)g

+ m

− k

−

ibp/ (1

−

− /

−

′

(11.3.4)

ρ .

Следующий шаг — виковский поворот. Как объяснено в предыдущем разделе, добавка −iε в знаменателе диктует необходимость

поворота контура интегрирования по k0 в сторону мнимой оси против часовой стрелки, так что интеграл по k0 îò −∞ äî +∞ заменяется интегралом по мнимым значениям от −i∞ äî +i∞, или, эквивалентно, по действительным значениям величины k4 ≡ −ik0 îò −∞ äî +∞.

Воспользуемся также вращательной симметрией знаменателя в (11.3.4), что позволяет отбросить в числителе слагаемые нечетной степени по k, заменить kλkσ íà ηλσk2/4 и заменить элемент объема d4k = idk1dk2dk3dk4 íà 2iπ2κ3dκ, ãäå κ — евклидова длина 4-векто-

ра k. После всех этих действий формула (11.3.4) принимает вид

−4π2e2 X1

X∞

Γ1LOOP

(p′, p)

Y dx

dy Y

dκ

{

−κ

γ σ γ ρ / 4

(2π)

+ γ ρ

−ibp/ ′(1 − y) − p/ (x − y) + mg

γ μ

−ibp/ (1 − x + y) − p/ ′yg + m

γ ρ }

κ2 + m2x2 + q2y(x − y)

−3

(11.3.5)

Нас интересует только матричный элемент`u′Γμu вершинной функ-

ции между дираковскими спинорами, удовлетворяющими соотношениям

u′[ip/ ′ + m] = 0 , [ip/ + m]u = 0 .

Поэтому можно упростить выражение (11.3.5), переместив с помощью соотношений антикоммутации дираковских матриц все множители p/ ′ налево и все множители p/ направо, и заменив их после

этого на im. После прямого, но утомительного вычисления можно привести выражение (11.3.5) к виду

<<< < Предыдущая 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 6768 / 8468 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Квантовая теория поля

#
15.08.2013228 Кб518Акимов, Шипов. Торсионные поля.doc
#
15.08.201350 Мб476Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf
#
15.08.201335 Мб404Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf
#
15.08.20132 Мб71Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 1.pdf
#
15.08.20132 Мб59Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 2.pdf