8СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

Ксложному сопротивлению относятся такие виды нагружения бруса, при которых в его поперечных сечениях одновременно возникает не менеедвух

внутренних силовых факторов. Исключением является прямой поперечный из-

гиб, который не принято рассматривать как случай сложного сопротивления,

хотя при этом в сечениях возникают изгибающий момент и поперечная сила.

Это связано с тем, что в большинстве случаев расчеты на прочность и жест-

кость проводятся без учета влияния поперечной силы.

Рассматриваемые ниже случаи сложного сопротивления можно условно разделить на две группы.

8.1 КОСОЙ ИЗГИБ

Если плоскость действия изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции поперечного сечения балки, то происходит так называемый косой изгиб. Такой случай имеет место, например, при изгибе кон-

сольного бруса силой, приложенной к плоскости торцового сечения под неко-

торым углом α к его оси симметрии(рисунок 8.1). Косой изгиб является пло-

142

ским, то есть изогнутая ось балки остается после деформации плоской кривой,

но характеризуется тем, что в отличие от прямого изгиба, силовая плоскость и плоскость, в которой расположена изогнутая ось(плоскость изгиба), не совпа-

дают.

Косой изгиб можно представить, как сочетание двух прямых изгибов, ес-

ли разложить изгибающий момент по главным плоскостям балки на два состав-

ляющих момента My и Mх. Проведем сечение на расстоянииz (рисунок 8.1) от правого конца бруса и рассмотрим равновесие отсеченной правой его части.

Изображая изгибающий момент в левом сечении(при взгляде на это се-

чение со стороны внешней нормали) по правилам механики в виде вектора,

нормального к плоскости действия этого момента(рисунок 8.2), и раскладывая этот вектор по главным центральным осям y и x, получаем

M y = Fx z = F × Sina × z = M × Sina,

M x = Fy z = F ×Cosa × z = M ×Cosa

где M=Fz - изгибающий момент в данном поперечном сечении.

8.1.1 Определение нормальных напряжений при косом изгибе

На основании принципа независимости действия сил косой изгиб рас-

сматривается как результат действия на брус двух прямых изгибов, действую-

щих в главных плоскостях. Этот принцип применим, если напряжения от от-

дельного действия изгибающих моментов, а также суммарное напряжение, не превышают предела пропорциональности.

Нормальное напряжение σ в какой-либо точке поперечного сечения при косом изгибе получим как алгебраическую сумму нормальных напряжений, вы-

званных в той же точке моментами My и Mx:

Здесь y и x - координаты исследуемой точки сечения в осях, совмещен-

ных с главными центральными осями инерции сечения. Эпюра нормальных на-

пряжений для прямоугольного сечения показана на рисунке 8.3.

8.1.2 Определение положения нейтральной линии при косом изгибе

Геометрическое место точек сечения, в которых нормальные напряжения равны нулю, называется нейтральной осью. Нейтральная ось делит сечение на две части, в одной из которых действуют растягивающие, а в другой – сжи-

мающие напряжения. Уравнение нейтральной оси найдем, приравнивая пра-

вую часть равенства (8.1) нулю:

Уранение (8.2) представляет собой уравнение прямой, проходящей через центр тяжести и поэтому может быть представлена угловым коэффициен-

том. После преобразований получаем:

где k угловой коэффициент.

Поскольку косой изгиб представляет собой комбинацию двух плоских из-

гибов, а при плоском изгибе наиболее опасными точками являются точки наи-

более удаленные от нейтральной оси, то и при косом изгибе наиболееопасны-

ми будут точки, наиболее удаленные от нейтральнойоси. Зная положение

144

нейтральной оси нетрудно определить положение опасных точек сечения. Для сечения произвольной формы (рисунок 8.3) необходимо провести касательные к контуру поперечного сечения параллельно нейтральной линии.

это точка A). Для хрупких материалов необходимо проверить две точкиA и B

при условии, что в наиболее удаленной точке действуют сжимающие напряже-

ния (рисунок 8.3,б).

Для сечений, имеющих оси симметрии и выступающие углы(см. рисунок

8.2, 8.4), опасными будут угловые точки, в которых напряжения от обоих изги-

бающих моментов имеют одинаковый знак.

Рисунок 8.4 - Косой изгиб балки, имеющей сечение с выступающими углами

Напряжения в опасных точках определяются по формуле (8.1) путем под-

становки в нее координат этих точек. Условие прочности при косом изгибе за-

пишется так:

145

где yA, xA - координаты опасной точки наиболее нагруженного(опасного) сече-

ния бруса; [σ] - допускаемое напряжение для материала бруса при простом рас-

тяжении или сжатии.

Из формулы (8.3) следует, что нейтральная линия наклонена к осиx под углом β:

В то же время тангенс угла наклона вектора М к оси x равен:

M x

Таким образом, в общем случае между угламиα и β существует следую-

щее соотношение:

I y

Так как Iy≠Ix, то угол α не равен углу β. Следовательно, при косом изгибе,

в отличие от прямого изгиба, нейтральная линия не перпендикулярна плоскости действия изгибающего момента.

Если Iy=Ix, то нейтральная линия нормальна к плоскости действия изги-

бающего момента; при этом любая центральная ось является главной и имеет место не косой, а прямой изгиб.

8.1.3 Перемещения при косом изгибе

Полное перемещение δ центра сечения бруса, как следует из принципа независимости действия сил и представления косого изгиба в виде комбинации двух плоских изгибов, равно геометрической сумме перемещений, вызванных каждым из указанных плоских изгибов в отдельности (рисунок 8.2), то есть:

146