где ФΣ - искомый силовой фактор - изгибающий или крутящий момент, нор-

мальная или перерезывающая сила в рассматриваемом сечении; ФF - аналогич-

ный силовой фактор от одной только внешней нагрузки; Фi - аналогичный си-

ловой фактор от единичного усилия, приложенного вместо Xi.

При построении суммарных эпюр силовых факторов(изгибающих и кру-

тящих моментов и т. д.) их ординаты находятся алгебраическим суммировани-

ем ординат ранее построенных эпюр тех же факторов от заданных нагрузок и единичных эпюр, увеличенных в Xi раз.

Можно поступить и иначе, а именно, заменить в эквивалентной системе неизвестные Xi их вычисленными значениями и определять внутренние сило-

вые факторы в сечениях этой системы одновременно от заданной нагрузки и усилий Xi.

Очевидно, что окончательные результаты расчета не зависят от выбора основной и эквивалентной системы, так как все системы, эквивалентные дан-

ной, эквивалентны и между собой.

10.4 Учет симметрии при раскрытии статической неопределимости

Определим, прежде всего, для статически неопределимых систем сле-

дующие виды симметрии (таблица 10.1):

- cимметричная система с симметричной нагрузкой

- симметричная система с кососимметричной нагрузкой Для статически неопределимых систем, обладающих одним из перечис-

ленных видов симметрии, процесс раскрытия статической неопределимости существенно упрощается, если рассматривать саму систему как внутренне ста-

тически неопределимую. Для этого необходимо образовать основную систему путем разрезания исходной системы по оси или по центру симметрии на две статически определимых системы.

Таблица 10.1

184

системы с симметричной нагрузкой.

Исходная

система

185

Основная система

Единичная эпюра М1 (симметричная эпюра)

186

Единичная эпюра М2 (кососимметричная эпюра)

Единичная эпюра М3 (симметричная эпюра)

При таком выборе основной системы в качестве«лишних» неизвестных выступают внутренние силовые факторы в сечении, причем, продольная сила

Х1 и изгибающий момент Х3 – симметричные ВСФ, а поперечная сила Х2 – ко-

сосимметричный внутренний силовой фактор.

Для определения коэффициентов канонических уравнений построим вспомогательные эпюры: грузовую и единичные.

Эпюры M1, М3 и МF, построенные от действия симметричных силовых факторов являются симметричными эпюрами, а эпюра М2, построенная от дей-

ствия кососимметричного силового фактора, является кососимметричной эпю-

рой. Очевидно, что коэффициенты канонических уравнений метода сил, полу-

ченные путем «перемножения» симметричной эпюры на кососимметричную,

равны нулю, т.е. d12 = d23 = d2F = 0 . Тогда система канонических уравнений мето-

да сил примет следующий вид:

187

Эта система трех уравнений с тремя неизвестными распадается на две бо-

лее простые подсистемы, решить которые существенно проще:

Х 2 = 0

ìíd11X1 +d13X 3 + d1F = 0 îd31X1 +d33 X 3 +d3F = 0

Таким образом, учет симметрии понижает степень статической неопреде-

лимости системы и приводит к более простому решению задачи.

10.5 Общий порядок расчета статически неопределимых систем

Общий порядок расчета любой статически неопределимой системы следующий:

1) устанавливаются неизвестные опорные реакции и показываются на схе-

ме; 2) определяется степень статической неопределимости;

3) выбираются лишние неизвестные, и изображается эквивалентная систе-

ма; 4) записываются уравнения перемещений для данного случая;

5) загружают основную систему только заданной нагрузкой, составляют аналитические выражения моментов по участкам и строят эпюры;

6) принимают лишнюю неизвестнуюХ =1, изображают основную систему

1

и, загрузив ее только этой единичной силой, составляют аналитические выражения моментов по участкам и по ним строят эпюры. Аналогично поступают и со всеми остальными лишними неизвестными;

7)определяют коэффициенты и свободные члены уравнений перемещений непосредственным интегрированием или перемножением эпюр и, решив эти уравнения перемещений, определяют лишние неизвестные;

8)изображают эквивалентную систему и, загрузив основную систему за-

данной нагрузкой и всеми найденными лишними неизвестными и стро-

ят эпюры как для обычной статически определимой системы(опреде-

ляют реакции, строят эпюры всех действующих силовых факторов и

188