18.3. Основные np-полные задачи. Сильная np-полнота

В данном разделе устанавливается NP-полнота некоторых известных в различных приложениях задач. Предпочтение отдается графическим задачам как наиболее наглядным. Доказательство получается преобразованием в рассматриваемую задачу другой задачи, NP-полнота которой установлена. Для задач с целочисленными параметрами вводится важное понятие – сильная NP-полнота.

1. Пусть f(x₁, …, x_n) — формула от булевых переменных x₁, …, x_n в конъюнктивной нормальной форме, где каждая дизъюнкция имеет не более, чем три вхождения переменных. Задача проверки выполнимости таких формул называется задачей 3-выполнимости (идентификатор: 3ВЫП).

Утверждение 18.6. Задача 3ВЫП является NP-полной.

Доказательство. Достаточно доказать, что ВЫП3ВЫП. Пусть F = D₁D₂ … D_m — индивидуальная задача выполнимость от переменных x₁, …, x_n. Пусть D_i = z₁  z₂  …  z_k и k > 3, . Положим

где y₁, …, y_k-3 — новые переменные. Покажем, что:

D_i выполнено тогда и только тогда, когда существует значение y₁, …, y_k-3 такое, что выполнено;

D_i не выполнено тогда и только тогда, когда для любых значений y₁, …, y_k-3 не выполнено.

Действительно:

D_i = 0  z₁  z₂  …  z_k = 0 

;

D_i = 1  z₁  z₂  …  z_k = 1  .

Укажем значения переменных y₁, …, y_k-3, выполняющие (табл.18.3).

Таблица 18.3

	y1	y2	y3	…	yk-3
z1 = 1	0	0	0	…	0
z2 = 1	0	0	0	…	0
z3 = 1	1	0	0	…	0
z4 = 1	1	1	0	…	0
…	…	…	…	…	…
zk = 1	1	1	1	…	1

Проделаем теперь процедуру замены каждой дизъюнкции D_i на для каждого с условием k > 3. Получим задачу 3-выполнимости за полиномиальное время. По доказанному имеем ВЫП3ВЫП, что и требовалось доказать.

Замечание. Можно доказать, что задача 2-выполнимости лежит в классе P.

2. Рассмотрим графическую задачу (идентификатор: КЛИКА): по произвольному графу G(V, E) и числу k узнать, имеется ли в графе G полный (граф называется полным, если любые две вершины соединены ребром) подграф с k вершинами (клика).

Утверждение 18.7. Задача КЛИКА является NP-полной.

Доказательство. Ясно, что КЛИКА  NP, так как словом-отгадкой для задачи служит список вершин, составляющих клику и детерминированный алгоритм за полиномиальное время проверяет наличие ребра между каждой парой вершин. Покажем, что ВЫП  КЛИКА.

Пусть F = D₁D₂…D_m — произвольная индивидуальная задача ВЫП. Строим соответствующий граф G_F следующим образом. Каждому вхождению переменной в F сопоставим вершину графа и присвоим ей обозначение (x^, i), где x^ — вхождение переменного (  {0, 1}), i — номер соответствующей дизъюнкции. Вершины (x^, i) и (y^, j) соединим ребром в том и только в том случае, когда i  j и x^ не есть отрицание y^ (т.е. x  y или, если x = y, то  = ). Допустим, что F выполнима и пусть — соответствующий выполняющий набор. В каждом сомножителеF есть вхождение переменной, обратившее его в 1. Выберем по одному такому вхождению из каждой дизъюнкции. Рассмотрим соответствующее множество К вершин графа G_F и покажем, что любые две такие вершины соединены ребром. Действительно, для вершин (x^, i) и (y^, j) нет соединяющего ребра лишь в случае i = j, либо . Ноx  y, так как вхождения переменных взяты из разных дизъюнкций. Если , то одно и то же значение переменного х не может одновременно обратить в 1x^ и y^. Значит, из выполнимости F следует наличие клики размера k в G_F.

Обратно, пусть G_F содержит клику размера k. Пусть это набор вершин . Покажем, что формулаF выполнима. Положим , и тогда. Значения остальных переменных положим произвольно. Противоречия в выборе значений переменных нет, так как если и соединены ребром, то  = .

По построению G_F вершинам соответствуют вхождения переменных из разных дизъюнкций и так как число вершин равно k, то каждая дизъюнкция имеет вхождение переменного, обращающего в 1 при данных значениях переменных, значит и F обращается в 1. Построение G_F проводится за полиномиальное время и, следовательно, ВЫП  КЛИКА, что и требовалось доказать.

3. Говорят, что некоторое множество вершин графаG(V, E) образует вершинное покрытие графа, если для любого ребра e  E найдется инцидентная ему вершина v  V₁ этого множества. Задача о вершинном покрытии (идентификатор: ВП) состоит в том, чтобы по произвольному графу G(V, E) и числу К узнать, имеет ли граф вершинное покрытие мощности k.

Утверждение 18.8. Задача ВП является NP-полной.

Доказательство. Ясно, что ВПNP, так как словом-догадкой является список вершин соответствующего вершинного покрытия и правильность ответа проверяется за полиномиальное время. Покажем, что КЛИКА  ВП.

Для графа G(V, E) строим граф G’, являющийся дополнением G до полного графа (т.е. G’ = (V, E’)), где e  E’  e  E). Покажем, что А есть полный подграф в G  дополнение А’ = V\A есть ВП в G’.

Действительно, пусть полный подграф с множеством вершин А лежит в G. Тогда, если бы для ребра графаG’ выполнялось бы и , то должно быть, что ребра нет вG. Значит А’ = V\A — вершинное покрытие для G’.

Обратно, если А’ образует вершинное покрытие графа G’, то всякое ребро, оба конца которого находятся в А, не может принадлежать G’ и содержится в G, т.е. в G имеется полный подграф с множеством вершин А.

Итак, задача о к-вершинном полном подграфе сводится к задаче о вершинном покрытии мощности k’ = n – k, n = |V|. Доказательство закончено.

Говорят, что множество вершин графаG(V, E) независимо, если никакие две вершины из V₁ не связяны ребром. Задача о независимом множестве вершин (идентификатор: НВ) заключается в том, чтобы для произвольного графа G(V, E) и целого числа k выяснить, существует ли в G независимое множество из к вершин.

Утверждение 18.9. Задача НВ является NP-полной.

Доказательство аналогично предыдущему.

Приведем теперь без доказательства некоторые известные NP-полные проблемы. За доказательствами можно обратиться к книге: Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М., 1983.

5. Задача ГАМИЛЬТОНОВ ЦИКЛ (идентификатор: ГЦ).

Для произвольного графа G(V, E) требуется узнать, существует ли перестановка вершин такая, что выполнено:

6. Задача ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЙ РЮКЗАК (идентификатор: ЦР).

Для произвольных натуральных чисел иk требуется узнать, существует ли набор целых чисел , что выполнено. Вариантом данной задачи является (0,1)-рюкзак, в которой требуется установить существование (0,1)-чиселс условием.

7. Множество ребер, разрезающих циклы. Для произвольного графа G(V, E) и целого числа к выяснить, существует ли множество , такое, чтои каждый цикл графаG(V, E) содержит ребро из .

8. Множество вершин, разрезающих циклы. То же, но только теперь ищется подмножество множества вершин.

9. Изоморфизм подграфу. Для заданных двух графов G(V₁, E₁) и H(V₂, E₂) выяснить, содержит ли граф G(V, E) подграф, изоморфный Н.

10. Проблема разрешимости диофантовых уравнений (в стандартном двоичном кодировании данных) вида

.

В настоящее время известно большое число NP-полных задач из разных областей дискретной математики (несколько тысяч). Мы ограничимся приведением результата, полученного Шеффером Т.И. (1978), дающего бесконечную серию NP-полных проблем.

Пусть — любое конечное множество логических отношений. Логическое отношение определяется как некоторое подмножество из {0, 1}^k для некоторого целого k  1, при этом k называется рангом отношения. Определим S-формулу как произвольную конъюнкцию скобок, каждая вида , где— переменные, число которых соответствует рангу. ПроблемаS-выполнимости — это проблема разрешения, является ли данная S-формула выполнимой.

Например, пусть R(x, y, z) — 3-местное логическое отношение с таблицей истинности {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Тогда формула R(x, y, z)  R(x, y, u)  R(u, u, y) выполнима и (x, y, z, u) = (0, 1, 0, 0) — ее выполняющий набор.

Результат Шеффера состоит в том, что проблема S-выпол­нимости полиномиально разрешима, если множество S удовлетворяет по крайней мере одному из приводимых ниже условий (в противном случае проблема NP-полна):

1) каждое отношение изS 0-выполнимо, т.е. (0, …, 0);

2) каждое отношение изS 1-выполнимо, т.е. (1, …, 1);

3) каждое отношение изS слабо положительно, т.е. логически эквивалентно формуле КНФ, имеющей самое большее одно переменное с отрицанием в каждой дизъюнкции;

4) каждое отношение изS слабо отрицательно, т.е. логически эквивалентно формуле КНФ, имеющей самое большее одно переменное без отрицания в каждой дизъюнкции;

5) Каждое отношение изS мультиафинно, т.е. логически эквивалентно формуле, являющейся конъюнкцией линейных форм над полемGF(2);

6) каждое отношение изS биюнктивно, т.е. логически эквивалентно формуле КНФ, имеющей самое большее вхождения двух переменных в каждой конъюнкции.

Установим теперь NP-трудность некоторых задач, уже встречавшихся в курсе математической логики. Рассмотрим следующие задачи о булевых функциях.

Задача 1. РАВНОВЕРОЯТНОСТЬ БУЛЕВОЙ ФУНКЦИИ. Для данной булевой функции , заданной в КНФ, узнать, является ли она равновероятной (т.е. верно ли, что ее вес равен).

Задача 2. ЛИНЕЙНОСТЬ БУЛЕВОЙ ФУНКЦИИ. Для данной булевой функции , заданной в КНФ, узнать, является ли она линейной.

Задача 3. СУЩЕСТВЕННОСТЬ ПЕРЕМЕННОГО. Для данных булевой функции в КНФ и целого числак узнать, является ли переменное x_k существенным для f.

Задача 4. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНОТА. Для данной булевой функции в КНФ выяснить, образует лиf функционально полную систему (является ли f шефферовой).

Утверждение 18.10. Задачи (1 – 4) являются NP-трудными.

Доказательство.

Задача 1. Пусть — произвольная индивидуальная задача ВЫП, где=D₁…D_m, D_i — дизъюнкции. Определим функцию =D₁…D_m  y, где y — новое переменное. Имеем и, значит, КНФ для функцииf* строится по функции f за полиномиальное время. Легко видеть, что . Значит,f* равновероятна тогда и только тогда, когда f не выполнима. Ясно, что условие «задача 1  P» влечет за собой ВЫП  P, что означает задача 1  NPH.

Задача 2. Пусть — произвольная индивидуальная задача ВЫП. Определим функцию

,

где y₁, y₂ — новые переменные. Ясно, что КНФ для функции f* строится по f за полиномиальное время. Легко видеть, что f* линейна тогда и только тогда, когда f не выполнима и условие «задача 2  P» влечет за собой ВЫП  P, что означает задача 2  NPH.

Задача 3. Пусть — произвольная индивидуальная задача ВЫП. Образуем функцию, гдеy — новое переменное. Ясно, что y существенно для f* тогда и только тогда, когда f — выполнима. Следовательно, «задача 3  P» влечет за собой ВЫП  P, что означает задача 3  NP.

Задача 4. Пусть — произвольная индивидуальная задача ВЫП. Образуем функцию

.

Ясно, что КНФ для f* строится по f за полиномиальное время. Функция f* образует функционально полную систему тогда и только тогда, когда f выполнима. Действительно, если f не выполнима, то и f* не является функционально полной. Если f выполнима, то пусть - выполняющий набор. Тогда имеем

,

,

откуда следует не самодвойственность и не линейность функции f*. Очевидно, что f* не сохраняет нуль, не сохраняет единицу и не монотонна. Значит, функция f* удовлетворяет критерию Шеффера функциональной полноты. Следовательно, условие «задача 4  P» влечет за собой ВЫП  P, что означает задача 4  NPН, что и требовалось доказать.

Замечание. Легко убедиться, что отрицание задачи 2, задачи 3 лежат в классе NP, и поэтому они NP-полны. Неизвестно, верно ли это для задач 1 и 4. Очевидно, что при табличном задании булевых функций рассмотренные задачи имеют полиномиальную сложность.

Разберем еще одно важное понятие, относящееся к обсуждаемому кругу вопросов. Рассмотрим задачу ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЙ РЮКЗАК, которая, как отмечалось выше, является NP-полной. Пусть c₁, …, c_n, w — натуральные числа и спрашивается, существуют ли такие целые x₁, …, x_n  0, что выполнено . Приведем один алгоритм решения данной задачи. Для индивидуальной задачи ЦР(c₁, …, c_n, w) построим ориентированный граф G(c₁, …, c_n, w) = (V, E), где V = {0, 1, …, w}, E = {(m, k), 0  m < k   w и k – m = c_j для некоторого j  n}. Значит, граф G имеет w + 1 вершину и O(nw) дуг.

Утверждение 18.11. В графе G(c₁, …, c_n, w) имеется путь из 0 в w тогда и только тогда, когда индивидуальная задача ЦР(c₁, …, c_n, w) имеет решение.

Доказательство. Пусть (0 = i₀, i₁, …, i_m = w) — нужный путь в графе G. Рассмотрим набор чисел (s₁, …, s_m) = (i₁ – i₀, …, i_m – i_m-1). Все эти числа содержатся среди чисел {c₁, …, c_n} согласно определению графа G. Кроме того, имеем . Отсюда следует, что уравнение разрешимо в неотрицательных целых числах, причем x_j равно числу появлений c_j в последовательности (s₁, …, s_m).

Обратно, если для неотрицательных целых чисел x₁, …, x_n, то можно восстановить некоторый путь из 0 в w в графе G, если положить (s₁, …, s_m) = () и путь из 0 в w имеет вид (0 = i₀, i₁, …, i_m = w), где i₁ = s₁, i₂ = s₁ + s₂, …, i_m = s₁ + … + s_m. Доказательство завершено.

Утверждение 18.12. Любая индивидуальная задача ЦР может быть решена за О(nw) действий.

Доказательство. По данным c₁, …, c_n, w строим граф G за О(nw) действий. Затем за О(nw) действий проверяем существует ли путь из 0 в w, используя способ пометок: вершину 0 помечаем 0, вершины, достижимые из 0 за 1 шаг, помечаем 1 и т.д. Если w получает пометку, то задача разрешима, если нет, то неразрешима. Доказательство завершено.

Приведенный результат показывает, что NP-полная задача ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЙ РЮКЗАК решается с помощью алгоритма с временной сложностью О(nw) — полиномиального и, следовательно, доказано, что P = NP и можно считать ненужным предыдущее и последующее обсуждение теории NP-полноты. Дело в том, что оценка О(nw) не является полиномиальной функцией от длины входа, так как целые числа в экономном кодировании должны задаваться в двоичной системе счисления. В то же время приведенный результат важен, так как он показывает, что NP-полные задачи имеют разную «сложность».

Для задач с числовыми параметрами введем следующие определения. Пусть I — индивидуальная вычислительная задача, т.е. с числовыми параметрами. Обозначим через num(I) — наибольшее целое число, появляющееся в I.

Определение 18.13. Пусть А — вычислительная задача и f:N  N — числовая функция. Обозначим через A_f подзадачу задачи А, в которой берутся индивидуальные задачи I, для которых выполнено num(I)  f(|I|). Говорят, что задача А сильно NP-полна, если для некоторого полинома p(n) задача A_p является NP-полной.

Замечание. Можно показать, что задачи КЛИКА, ГАМИЛЬТОНОВ ЦИКЛ являются сильно NP-полными, а задачи (0,1)-РЮКЗАК и ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЙ РЮКЗАК не являются таковыми.

Определение 18.14. Алгоритм АЛГ для задачи А называют псевдополиномиальным, если он решает любую индивидуальную задачу I  A за время, ограниченное полиномом (двух переменных) от |I| и num(I). Значит, алгоритм со сложностью О(nw) для задачи ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЙ РЮКЗАК является псевдополиномиальным (ясно, что для индивидуальной задачи I ЦР num(I) = w).

Отметим, что сильная NP-полнота задачи делает маловероятным существование псевдополиномиального алгоритма точно также, как NP-полнота задачи делает маловероятным существование полиномиального алгоритма.

Утверждение 18.15. Если P  NP, то ни для одной сильно NP-полной задачи не существует псевдополиномиального алгоритма.

Доказательство. Пусть А — сильно NP-полная задача. Значит, для некоторого полинома p(n) задача А_p является NP-полной. Далее, пусть для А существует псевдополиномиальный алгоритм АЛГ, который решает любую индивидуальную задачу I  A за время q(|I|, num(I)) для некоторого полинома q от двух переменных. Тогда очевидно, что алгоритм АЛГ решает NP-полную задачу А_p за время q(n, p(n)) — что является полиномиальной оценкой. Получено противоречие при P  NP, что и требовалось доказать.