4.2. Функции k-значной логики

Пусть , где.

Определение 4.7. Функцией k-значной логики, или k-значной функцией, от переменных при называется произвольное отображение,k-значными функциями от 0 переменных называются функции-константы 0, 1, …, k – 1.

Обозначим через имножества всехk-значных функций и k-значных функций от переменных.

При изучении k-значных функций используются многие из терминов и обозначений, введенных при изучении булевых функций. В частности, аналогичным образом определяются равенство функций, существенные и несущественные переменные, функции от переменных, тождественно равны константам 0, 1, …,k – 1, подфункции и т.д.

Так как множество конечно, тоk-значную функцию от переменных можно задать таблицей её значений на всех наборах (или векторах) из. При этом условимся записывать их в порядке возрастания как числа в конечной системе исчисления. Непосредственно из табличного значения видно, что различныхk-значных функций равно . Притабличное заданиеk-значных функций практически еще более трудно осуществимо.

В связи с этим важным вопросом является вопрос о разработке аналитических способов k-значных функций.

Множество можно рассматривать как кольцо вычетовпо модулю, и потому можно считать определенными наоперации сложения и умножения по модулю. Будем обозначать эти операции притеми же значками, что и операции над числами. Используя эти операции и функции-константы можно построить кольцо многочленовот переменных. Каждый многочлен из этого кольца представляетk-значную функцию от переменных. При простом, когдаесть поле, многочленами представляются всеk-значные функции. При составном — это не так.

Используя операции сложения и умножения, а также элементарные функции

можно получить представление k-значной функции, сходное с совершенной дизъюнктивной нормальной формой для случая :

. (4.4)

Другими, часто используемыми операциями на являются аналоги дизъюнкции, конъюнкции и отрицания:

Для k-значных функций, как и в двоичном случае, можно ввести понятия операции, представления функций формулами над заданной системой функций, замыкания, замкнутой и полной системы функций и.т.д. Приведем примеры полных систем k-значных функций.

1. Из представления (4.4) следует, что полной является система функций .

2. Так как в разложении (4.4) операцию сложения можно заменить на дизъюнкцию (выбор максимума), то полной является также система функций .

3. Наряду с разложением (4.4) имеет место еще один аналог совершенной дизъюнктивной нормальной формы функции , гдеI_a(x) = 1 как только x = a, и в остальных случаях равна 0. Отсюда следует, что полной является система функций .

4. Система функций является полной системой функций.

Доказательство. С помощью суперпозиции из функции легко получить функции. Из них получим константу, а поэтому все функции константы. Теперь нетрудно получить функции:

.

Как следует из примера 3, остается построить функцию , т.е.Для этого сначала построим функции

Теперь из них можно получить функции

и .

5. Аналогично функции Шеффера в k-значной логике является функция Вебба , которая одна образует систему, т.е. системаявляется полной.

Доказательство. Используя , приимеем. Далее получаем:

А так как

Отсюда имеем, что — полная система функций.

Утверждение 4.8. Все k-значные функции представляются многочленами над в том и только том случае, когдаk — простое число, т.е. поле (без доказательства).

Утверждение 4.9. (Критерий полноты — критерий Слупецкого). Пусть система k-значных функций K содержит все функции одной переменной, причем . Тогда для полноты системыК необходимо и достаточно, чтобы К содержала функцию, существенно зависящую по меньшей мере от двух переменных и принимающую все значений из.

Л е к ц и я 5