личину упругих модулей кристалла, спектр упругих колебаний и тепловые характеристики кристаллов.

1.3.7. Предельные группы симметрии

Для конечных физических систем, наряду с кристаллографическими группами, большое значение имеют группы, содержащие оси симметрии бесконечного порядка. Такая симметрия характерна для физических полей, тел вращения и некоторых физических свойств кристаллов.

Предельными группами симметрии, или группами Кюри, назы-

ваются точечные группы симметрии, содержащие оси симметрии, бесконечного порядка. Кюри показал, что имеется 7 предельных точечных групп. Симметрия каждой из них наглядно изображается соответствующей геометрической фигурой (рис. 1.46).

Рис. 1.46. Геометрические фигуры, символизирующие предельные группы симметрии П. Кюри:

а− конус вращающийся − ∞, правый и левый; б − конус неподвижный − ∞m;

в− цилиндр вращающийся − ∞/m; г − цилиндр закрученный − ∞2, правый и левый;

д− цилиндр неподвижный − ∞/mmm; е − шар закрученный − ∞/∞, правый и левый;

ж− шар обычный − ∞/∞m

1.Группа симметрии равномерно вращающегося кругового конуса с международным символом ∞. Группа полярна и энантиоморфна, потому что конус может вращаться вправо и влево. Очевидно, группа ∞ является предельной для кристаллографических

82

групп 1, 2, 3, 4, 6. Группа содержит только одну ось бесконечного порядка (рис. 1.46,а).

2.Группа симметрии покоящегося кругового конуса ∞m. Группа полярна, но не энантиоморфна, потому что, как уже говорилось, энантиоморфными называются фигуры, которые можно совместить друг с другом только путем зеркального отражения (рис. 1.46,б). Такова симметрия однородного электрического поля: вектор его напряженности E является полярным вектором, т.е. группа ∞m − группа симметрии полярного вектора. Группа содержит ось симметрии бесконечного порядка и бесконечное число продольных плоскостей симметрии.

3.Группа симметрии вращающегося цилиндра ∞/m. Группа содержит ось симметрии бесконечного порядка, поперечную плоскость симметрии и центр симметрии. Ось симметрии не полярна, поскольку оба ее конца можно совместить друг с другом путем отражения в поперечной плоскости симметрии.

Цилиндр, вращающийся вправо, можно совместить с цилиндром, вращающимся влево, отражая его в имеющемся центре симметрии или просто перевернув и наложив один на другой, без отражения. Поэтому в этой группе нет энантиоморфных форм (рис. 1.46,в).

Симметрией ∞/m обладает поле постоянного магнита, вектор напряженности которого H является аксиальным вектором, т.е.

группа ∞/m − группа симметрии аксиального вектора.

4.Группа симметрии ∞2 цилиндра, концы которого закручены в разные стороны. Группа содержит ось симметрии бесконечного порядка и бесконечное число поперечных осей 2 (рис. 1.46,г). Группа неполярная, но энантиоморфная.

Такая симметрия характерна для удельного вращения плоскости поляризации в анизотропной среде.

5.Группа симметрии покоящегося цилиндра ∞/mmm. Группа содержит ось симметрии бесконечного порядка, одну поперечную

ибесконечное множество продольных плоскостей симметрии, бесконечное множество поперечных осей 2 и центр симметрии (рис. 1.46,д).

Такова симметрия однородного поля одноосных сжимающих или растягивающих механических напряжений.

83