Крючков Теория переноса нейтронов 2007

Найдем плотность замедления j(E) в рассматриваемой среде

При выводе было использовано выражение для h(E) и формула (3.65). Функция (E) удовлетворяет уравнению (3.66), следова-

тельно, для плотности замедления окончательно получим:

141

В свою очередь, на основе вышеприведенных выкладок можно записать:

Ферми.

Используя выражение для плотности замедления (3.70), найдем вероятность избежать поглощения при замедлении от энергии Е0 до энергии Е:

В прил. 4 приведен пример использования формулы (3.72) для расчета избежать поглощения на первом резонансе урана-238 при замедлении на водороде.

3.12.Замедление на ядрах с атомной массой больше единицы

сучетом поглощения

Рассмотрим задачу о нахождении спектра нейтронов и вероятности избежать поглощения при замедлении в среде, состоящей из смеси ядер замедлителя с атомной массой больше единицы и поглотителя (тяжелые ядра). Оказывается, что уравнение замедления

вданной постановке задачи без дополнительных приближений (как

вслучае замедления на водороде) решить не представляется возможным.

По отношению к энергии источника (это область мегаэлектронвольт) область резонансов (до сотен килоэлектронвольт) – асимптотическая область энергий, т.е. область, отстоящая от энергии источника более, чем на три ступеньки замедления на замедлителе.

142

Но даже в асимптотической области энергии необходимо использовать приближенные модели для решения уравнения замедления. Во всей области энергий, где происходит поглощение на ядрах поглотителя, можно выделить две характерные области: область, где поглощение много меньше рассеяния (случай слабого поглощения), и область, где в сечении поглощения поглотителя расположен резонанс. Рассмотрим последовательно обе эти области энергий.

Случай слабого поглощения. Случай слабого поглощения оз-

начает, что ∑∑as((EE))<<1, и реализуется в области неразрешенных

резонансов и в областях между разрешенными резонансами. В этих областях микроскопическое сечение рассеяния замедлителя имеет тот же порядок величины, что и микроскопическое сечение поглощения поглотителя (единицы – десятки барн), поэтому с учетом того факта, что концентрация ядер замедлителя существенно больше концентрации ядер поглотителя, можно утверждать, что макроскопическое сечение рассеяния среды будет существенно больше макроскопического сечения поглощения.

Рассмотрим энергетический интервал ∆E (рис. 3.19) в области [E1, E2], где реализуется случай слабого поглощения, и баланс нейтронов в этом энергетическом интервале.

Рис. 3.19. Схема баланса нейтронов в энергетическом интервале

Исходя из определения плотности замедления и основываясь на законе сохранения нейтронов, можно утверждать, что изменение плотности замедления на энергетическом интервале ∆Е равно скорости реакции поглощения нейтронов в интервале ∆Е, т.е.

143

Так как рассматривается случай слабого поглощения, то в качестве спектра нейтронов в правой части уравнения (3.71) можно использовать спектр Ферми, который бы установился в среде из замедлителя в асимптотической области энергий. Только вместо мощности внешнего источника в этом спектре должна стоять соответствующая плотность замедления, что позволяет учесть поглощение нейтронов в области энергий выше рассматриваемой:

В случае отсутствия поглощения j(E) = q и (3.74) представляет

собой спектр Ферми в асимптотической области энергий в непоглощающей среде.

Подставим (3.74) в (3.73):

j(E + ∆E)− j(E)≡ ∆j(E)= ∑a(E)j(E)∆E

ξ∑S (E) E

и перейдем к дифференциальному уравнению

dj((E)) = ∑a ((E)) dE , j E ξ∑S E E

решением которого на рассматриваемом интервале энергий [E, E2] является функция

144

Учитывая слабое поглощение, т.е. равенство ∑S (E′)≈ ∑ tot (E′),

получим выражение для вероятности избежать поглощения при замедлении на интервале [E1, E2]:

Случай узкого изолированного резонанса. Определим веро-

ятность избежать поглощения в энергетическом интервале [E1, E2] при замедлении на ядрах с атомной массой больше единицы, если в рассматриваемом энергетическом интервале в сечении поглощения (радиационного захвата) поглотителя расположен узкий изолиро-

ванный резонанс (рис. 3.20).

На рис. 3.20 выделены две характерные области энергий:

область I, где реализуется случай слабого поглощения, т.е.

∑a << ∑S ;

область II, где в сечении поглотителя расположен узкий изолированный резонанс и, следовательно, априорно неизвестны соотношения макроскопических сечений поглощения и рассеяния.

σа(E) σ°

Г

12 σ°(E)

∆E′

II I

Рис. 3.20. Зависимость сечения поглощения от энергии

145

Резонанс называется узким, если ширина резонанса Г много меньше средней потери энергии при одном столкновение нейтрона

с ядром замедлителя Г<< E2r (1−αз ).

Резонанс называется изолированным, если расстояние между ним и следующим, расположенным выше, резонансом много больше ступеньки замедления для замедлителя D >> Er (1− αз ).

Узкие изолированные резонансы реально существуют. Например, рассмотрим первый резонанс 238U при замедлении на углероде.

Первый резонанс 238U имеет следующие параметры: Er = 6,7 эВ, Г = = 26,5·10-3 эВ. Второй резонанс 238U лежит при энергии 21 эВ. Для

углерода α = 0,716. Проверим выполнимость условий узости и изолированности первого резонанса урана-238 при замедлении на углероде:

Er (1− αC ) = 6,7 (1− 0,716) 0,95 эВ; 2 2

Er (1− αC ) 1,9 эВ.

Оба из условий 26,5·10–3 << 0,95 и (21–6,7) = 14,3 >> 1,9 эВ с хорошей точностью выполняются, поэтому первый резонанс урана238 можно считать узким и изолированным при замедлении на углероде.

Подчеркнем еще раз, что говорить об узости и изолированности резонанса в сечении поглощения поглотителя можно только по отношению к замедлению на конкретном замедлителе. При этом надо отметить, что далеко не все резонансы урана-238 при замедлении на реальных замедлителях можно считать узкими и изолированными.

Условие узости резонанса позволяет утверждать, что вероятность того, что энергия нейтрона при замедлении попадет в область резонанса, т.е. в область энергий [E – 3Г, E + 3Г], мала, поскольку эта область существенно меньше ступеньки замедления на замедлителе.

146

Условие изолированности резонанса позволяет утверждать, что на пути от предыдущего резонанса к рассматриваемому нейтрон испытает много столкновений с ядрами среды, т.е. в области слабого поглощения на интервале ступеньки замедления до резонанса сформируется невозмущенный спектр Ферми, характерный для асимптотической области энергий. Действительно, для урана-238 при замедлении от энергии второго резонанса до энергии первого

ln 21

резонанса нейтрон в среднем испытает N = 6,7 = 1,142 ≈ 7,2

ξC 0,158

столкновений с ядрами среды в области слабого поглощения. Выберем в пределах резонанса (в интервале энергий [E1, E2]) ин-

тервал ∆E′ и рассмотрим уравнение баланса нейтронов (3.75):

j(E′+ ∆E′)− j(E′)= ∆j(E′)= ∑a (E′)Φ(E′)∆E′.

Но если в случае слабого поглощения в качестве спектра нейтронов Φ(E′) можно было использовать невозмущенный спектр

Ферми, то в данном случае в области резонанса возможно сильное поглощение нейтронов, а следовательно, и возмущение спектра нейтронов.

Найдем спектр нейтронов в области узкого изолированного резонанса Φ(E′) (рис. 3.21).

Область резонанса

Область слабого поглощения (спектр Ферми)

Рис. 3.21. Схема для нахождения спектра нейтронов в области резонанса

147

ласть слабого поглощения, в которой установился невозмущенный спектр Ферми Φ0 (E) вне зависимости от того, есть резонанс или

его нет, поскольку наличие резонанса ни как не влияет на спектр нейтронов в более высокой области энергий. Наличие или отсутствие резонанса влияет только на спектр нейтронов в области [E ′, E2], размеры которой по сравнению со ступенькой замедления, а следовательно, и вклад в баланс нейтронов в интервале ∆E′ малы. Таким образом, в интервал ∆E′ приходит примерно одинаковое число нейтронов за счет рассеяния при более высоких энергиях вне зависимости от наличия или отсутствия резонанса. Но в случае стационарной задачи скорость генерации нейтронов в ∆E′ всегда равна скорости исчезновения нейтронов из ∆E′ . Таким образом, получается логическая цепочка, изображенная на рис. 3.22.

В изображенной на рис. 3.22 логической диаграмме все знаки равенства, за исключением жирного, обсуждены выше. А жирный знак равенства следует из логики приведенной диаграммы.

Таким образом, скорость исчезновения нейтронов из ∆E′ не зависит от наличия или отсутствия резонанса. Но в случае наличия

приводит или к рассеянию, или к поглощению нейтрона. А в случае отсутствия резонанса реализуется случай слабого поглощения, т.е. Σtot ≈ ΣS , и устанавливается невозмущенный спектр нейронов –

спектр Ферми – Φ0 (E′) . Поэтому в случае отсутствия резонанса

148

Таким образом, в пределах узкого изолированного резонанса устанавливается следующий спектр:

который называется спектром Вигнера. Отметим, что в отличие от спектра Ферми в знаменателе спектра Вигнера стоит не макроскопическое сечение рассеяния замедлителя, которое фактически не зависит от энергии, а полное сечение, которое сильно зависит от энергии, поскольку включает сечение поглощения поглотителя:

Σtot (E) = ΣaП(Е) + ΣSП(Е) + ΣSЗ(Е) + ΣaЗ(Е) .

Если пренебречь сечением поглощения замедлителя по сравнению с сечением рассеяния замедлителя и сечением рассеяния поглотителя по сравнению с сечением поглощения поглотителя, то для полного сечения получится следующее выражение:

Если в среде очень мало поглотителя (случай бесконечного разбавления), то каким бы большим не было микроскопическое сечение поглощения поглотителя первое слагаемое в (3.78) стремится к нулю, следовательно, полное сечение стремится к сечению рассеяния замедлителя, а спектр Вигнера – к спектру Ферми (кривая 1 на рис. 3.23). При повышении концентрации ядер поглотителя растет влияние первого слагаемого в (3.78) и в спектре нейтронов (3.77) начинает наблюдаться «провал», который ведет себя противоположным образом по отношению к микроскопическому сечению поглощения (кривая 2 на рис. 3.23).

150