Крючков Теория переноса нейтронов 2007

Рассмотрим величину Σa , которая входит в формулу (3.72) для

Σtot

ϕ(E0 , E) :

Водород – слабый поглотитель, поэтому ∑аН<<∑SH , и вторым

членом в знаменателе последнего выражения можно пренебречь по отношению к первому члену. Поскольку микроскопическое сечение рассеяния водорода и поглотителя имеют один порядок величины, а концентрация ядер водорода существенно больше, чем поглотителя (случай сильного разбавления), то третьим членом в знаменателе последнего выражения можно пренебречь по отношению к первому. Необходимо отметить, что возможен случай резкого возрастания сечения рассеяния поглотителя в области резонанса, но приближение бесконечной массы поглотителя дает возможность этот случай не рассматривать. Рассматривается случай сильного разбавления, т.е. концентрация ядер поглотителя много меньше, чем концентрация ядер водорода. Пусть соотношение концентра-

∑аН<<∑аП <<∑SH . Найдем диапазон отношения концентраций

ядер поглотителя и водорода, при котором последнее соотношение выполняется. Для этого учтем порядок величин для микроскопических эффективных сечений в области замедления: σaH 10–3 б,

σSH 10 б, σаП 104 б в резонансе. С учетом этого легко найти искомый диапазон изменений NП/NЗ:

Таким образом, случай сильного разбавления соответствует

рым членом можно пренебречь по отношению к первому, а в знаменателе – четвертым по отношению к первому. Таким образом, в рассматриваемом случае:

σγγnn

Рис. П4.1. Пояснения к расчету вероятности избежать поглощения при замедлении

Подставим (П4.2) в (3.72) и преобразуем получившееся выражение:

252

Рассмотрим отдельно интеграл в последнем выражении, воспользовавшись (П4.1):

где a1 = Г2 (Е1 − Еr ) , a2 = Г2 (Е2 − Еr ) .

253

Г

Рис. П4.2. Выбор пределов интегрирования

вносит область около х = 0 (рис. П4.2), т.е. около Е = Еr, выберем Е1 = Еr – 3Г и Е2 = Еr + 3Г. В этом случае а1 = –6, а а2 = 6 и c хорошей точностью arctg(6) ≈ π/2, а arctg(–6) ≈ –π/2. Тогда для вероятности избежать поглощения на резонансе поглотителя при замедлении на водороде получим выражение:

Г = 26,5 10–3 эВ. Видно, что поскольку на ядре 238U при энергии 6,7 эВ идут только процессы резонансного рассеяния и поглощения, то Г = ГН + Гγ . При этом вероятность распада составного ядра по ка-

больше, чем по каналу резонансного рассеяния. Рассчитаем значе-

254

ние сечения образования составного ядра в максимуме резонанса:

σr = 4πD2 ГГН .

Длину волны де Бройля нейтрона можно рассчитать по формуле:

где Е – кинетическая энергия нейтрона, эВ;

D(Er )=4,55 6,710−10 =1,76 10−10 см.

Тогда

Таким образом, видно, что в максимуме резонанса сечение дос-

Видно, что вероятность избежать резонансного поглощения практически равна единице. Это следствие того, что ширина резонанса Г много меньше ступеньки замедления на водороде. Поэтому, хотя в максимуме резонанса сечение достигает нескольких десятков ты-

сяч барн, но в эту область энергий попадает только Г от полно-

E0

го числа нейтронов.

255

Приложение 5

РАСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТИ ИЗБЕЖАТЬ ПОГЛОЩЕНИЯ НА УЗКОМ ИЗОЛИРОВАННОМ РЕЗОНАНСЕ

В ПРИБЛИЖЕНИИ БЕСКОНЕЧНОЙ МАССЫ ПОГЛОТИТЕЛЯ

Получим формулу для расчета вероятности избежать поглощения на узком изолированном резонансе в приближении бесконечной массы поглотителя. Рассмотрим выражение:

=ΣaП(Е) + ΣаЗ .

Σtot (E) ΣаП(Е) + ΣSП(Е) + ΣSЗ + ΣаЗ

Вчислителе этого выражения можно пренебречь макроскопическим сечением поглощения замедлителя по сравнению с макроско-

пическим сечением поглощения поглотителя, поскольку микроскопическое сечение поглощения замедлителя (10–3 и менее барн)

меньше микроскопического сечения поглощения поглотителя в максимуме резонанса (порядка 104 б) на 6 – 7 порядков, а концентрация ядер поглотителя в реальных средах меньше концентрации ядер замедлителя всего на один-два порядка. В знаменателе рассматриваемого выражения можно пренебречь сечением поглощения замедлителя по отношению к сечению рассеяния замедлителя (разница в сечениях составляет более трех порядков), а также сечением рассеяния поглотителя по отношению к сечению поглощения поглотителя, поскольку рассматривается приближение бесконечной массы поглотителя.

С учетом вышесказанного подставим в формулу (3.80) выражения для сечений. Согласно (П4.1)

и

В ходе последних преобразований была проведена замена пределов интегрирования по соображениям, аналогичным обсужденным в прил. 4. Кроме того, в знаменателе было использовано приближенное равенство Гγ ≈ Г, которое становится точным в случае

отсутствия резонансного рассеяния (приближение бесконечной массы поглотителя). Вероятность избежать поглощения на узком изолированном резонансе в приближении бесконечной массы поглотителя получается после подстановки найденного выражения в

257

циентом самоэкранировки резонанса. Он связан с эффектом резо-

нансной самоэкранировки.

Если ∑r <<∑SЗ (слабый резонанс), то k ≈1 . Этот случай соот-

зультаты расчетов, проведенных в прил. 4, выполним численную

Коэффициент самоэкранировки резонанса в этом случае составляет 0,883. Таким образом, вероятность избежать поглощения равна 98,6 %, вероятность поглотиться – 1,4 %. Заметим, что действительно величина, вычитаемая из единицы (в данном случае – 0,014), значительно меньше единицы, поэтому правомерно использованное ранее при выводе формулы (3.80) разложение экспоненциальной функции вблизи нуля.

258

Приложение 6

ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ МОНОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ НЕЙТРОНОВ ИЗ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА

Уравнение Больцмана в случае, если все нейтроны имеют одну

итуже энергию, принимает вид

ΩgradΦ (rr,Ω)+ Σtot (rr)Φ(rr,Ω)= q(rr,Ω)+

+∫πΣS (rr)Φ(rr,Ωr′)WS (rr;Ωr′ → r )dΩr′.Ω4

Проинтегрируем это уравнение по Ω , учитывая в первом члене равенство Ω grad Φ(rr,Ω)= div ΩΦ(rr,Ω):

учитывая, что интеграл от индикатрисы рассеяния равен единицы, из последнего уравнения получим:

div i (rr)+ Σtot (rr)Φ(rr)= q(rr)+ ΣS (rr)Φ(rr).

Принимая во внимание, что Σa = Σtot − ΣS , окончательно полу-

чаем уравнение баланса нейтронов в единичном пространственном объеме:

Получим закон Фика, т.е. найдем связь между вектором тока нейтронов i (rr) и плотностью потока нейтронов Φ(r ) . Для этого

разложим функцию Φ(rr,Ω) в ряд по переменной Ω и ограничимся

двумя слагаемыми, т.е. рассмотрим случай почти изотропного потока:

Левая часть этого уравнения равна глобальной плотности потока

нейтронов ∫ Φ(rr,Ω)dΩ = Φ(rr), первый член в правой части урав-

4π

нения легко вычисляется: A(rr)∫ dΩ = 4πA(rr), а второй член в пра-

4π

вой части уравнения равен нулю: ∫(Ω B)dΩ = 0 . Для того, чтобы

4π

это проверить, распишем скалярное произведение под интегралом: (Ω B(rr)) = Ωx Bx (rr) + Ωy By (rr) + Ωz Bz (rr) . Тогда с учетом со-

отношений (рис. П6.1)

легко показать, что выполняются следующие равенства:

∫ ΩxdΩ = ∫ Ωy dΩ = ∫ Ωz dΩ = 0 ,

4π 4π 4π

а следовательно, ∫(Ω B)dΩ = 0 .

4π

260