Крючков Теория переноса нейтронов 2007

Z

ΩzΩ

Θ

Ωy

Ωx Y

X ϕ

Рис. П6.1. Система пространственных и угловых координат

Таким образом, из уравнения (П6.2) после его интегрирования по Ω, получаем, что коэффициент A(rr) определяется выражени-

ем: A(rr) = 41πΦ(rr) , а следовательно, разложение (П6.2) имеет вид

на Ωz и проинтегрируем полученное уравнение по переменной Ω:

Для вычисления интегралов в последнем равенстве воспользуемся соотношениями (П6.3). Тогда интеграл в первом слагаемом в правой части (П6.3) примет вид

Рассмотрим в уравнении (П6.5) второе слагаемое

Скалярное произведение под интегралом можно расписать как

Ωr Br(rr)= (Ωxerx + Ωyery + Ωzerz ) B(rr)= Ωx Bx (rr)+ Ωy By (rr)+ Ωz Bz (rr).

И, следовательно,

Рассчитаем интегралы в правой части последнего выражения, учитывая (П6.3):

Следовательно,

Br(rr) 4∫πΩzΩrdΩr = 43π Bz (rr) .

262

Рассмотрим правую часть уравнения (П6.3):

∫ΩzΦ(rr,Ω)d Ω = iz (rr),

4π

так как по определению i (rr)= ∫ΩΦ(rr,Ω)dΩ.

4π

Таким образом, после умножения уравнения (П5.4) на Ωz и соответствующих математических преобразований получили:

J z (rr)= 43π Bz (rr).

Совершенно аналогично, умножив уравнение (П5.4) на Ωy , можно

получить:

iy (rr)= 43π By (rr),

а после умножения на Ωx

соотношением:

Br(rr)= 43πir(rr).

Таким образом, с учетом найденных коэффициентов разложение (П6.2) принимает вид

Подставим разложение (П5.6) в уравнение Больцмана для моноэнергетических нейтронов с изотропным источником:

индикатрисы рассеяния.

С учетом преобразованного интеграла рассеяния умножим (П6.7) на Ωz и проинтегрируем по переменной Ω:

Рассмотрим интегралы в последнем уравнении. Уже было полу-

чено, что ∫Ωz d Ω = 0 .

4π

Теперь разберем интеграл во втором слагаемом в левой части

(П6.8) I1 = ∫ΩΩz (Ω ir(rr))d Ω . Скалярное произведение под

4π

интегралом можно представить следующим образом:

264

Вычислим интеграл в четвертом члене в правой части уравнения (П6.8), используя полученные ранее результаты:

Z

Ω'z Θ Ω

Y

X ϕ

Рис. П6.2. Схема рассеяния нейтрона

Рассмотрим интеграл в последнем члене в правой части уравне-

учитывая, что индикатриса рассеяния в случае практически изотропного в ЛС рассеяния зависит не от конкретных значений на-

r

правления скорости нейтрона до столкновения с ядром – Ω' и на-

r

правления скорости нейтрона после столкновения с ядром – Ω , а только от косинуса угла между этими двумя направлениями (угла Θ на рис. П6.2), который обозначим µ0 .

266

Интеграл по Ω может быть преобразован, используя тригонометрические тождества и тождества поворотов к следующему виду:

В последнем равенстве введено обозначение µ – средний косинус угла рассеяния. Подставив последнее равенство в выражение для

интеграла по Ω' , получим, учитывая результаты, полученные при вычислении I3:

4∫πΩr′ir(rr)dΩr'4∫πΩzWS (rr;µ0 )d Ωr = µ4∫πΩ′z (Ωr′ ir(rr))dΩr' = µ 43πiz .

Таким образом, после вычисления всех интегралов (П6.8) принимает вид

или после тождественных математических преобразований –

3iz (Σtot (rr) − µΣS (rr))= −∂Φ(rr) .

∂ z

Совершенно аналогично можно выполнить преобразования после умножения (П6.7) на Ωx или Ωy и интегрирования по переменной

Ω . В результате получим следующие равенства соответственно:

267

3ix (Σtot (rr) − µΣS (rr))= −∂Φ(rr)

∂ x

и

3iy (Σtot (rr) − µΣS (rr))= −∂Φ(rr) .

∂ y

Последние три равенства можно записать в векторной форме:

сечение Σtr (r ) ≡ Σtot (r ) − µΣS (r ) .

Полученное ранее уравнение (П6.1) вместе с законом Фика представляют собой систему уравнений модели диффузии моноэнергетических нейтронов. В данном случае она была найдена в приближении почти изотропного потока нейтронов, практически изотропного рассеяния и относительно интегральных по угловой переменной функций. Требование наличия лишь слабой анизотропии функции плотности потока нейтронов эквивалентно одновременному требованию слабого поглощения, практической неизменности сечения рассеяния от пространственной координаты в рассматриваемой области и удаленности рассматриваемой области от локальных неоднородностей. Ограничение случаем практически изотропного рассеяния в ЛС эквивалентно требованию того, чтобы среда состояла из тяжелых ядер.

268

Приложение 7

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ И ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА

Рассмотрим интегродифференциальное уравнение Больцмана

(6.1):

Ω Φ(rr, E,Ω)+ Σtot (rr, E)Φ(rr, E,Ω)=

=∞∫dE′ ∫ΣS (rr, E′)Φ(rr, E′,Ωr′)WS (rr; E′,Ωr′ → E,Ωr )d Ωr′+ q(rr, E,Ωr ).

0 4π

Выберем в среде точку О, характеризующуюся радиусомвектором r0 , и точку А, характеризующуюся радиусом-вектором r

(рис. П7.1).

O

r0 Ω

Рис. П7.1. Схема для преобразования уравнения Больцмана

269