mat

• Уравнение прямой с угловым коэффициентом k:

y = kx+b.

Если известны координаты двух различных точек А(хA;уA) и В(хB;уB) на прямой, то угловой коэффициент можно вычислить по формуле

k= уB − уA . хB − хA

•Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k и

проходящей через точку (x0;y0):

y − y0 = k(x − x0 ).

Если в этом уравнении менять k, то получим семейство прямых, проходящих через точку (x0;y0), которое называют «пучком прямых».

• Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

А(хA;уA) и В(хB;уB):

Если xB = xA , топрямаяпараллельнаосиOy, еёуравнение: x = xA. Если yB = yA , топрямаяпараллельнаосиOx, еёуравнение: y = yA.

3. Взаимное расположение прямых.

Пусть k1 и k2 – угловые коэффициенты двух прямых.

•Условие параллельности прямых: k1 = k2 .

•Условие перпендикулярности прямых: k1 k2 = −1.

4. Положение точки относительно прямой.

Формула нахождения расстояния от точки М(x0;y0) до прямой

Ax + By + C = 0:

d = Ax0 + By0 +C . A2 + B2

Точка М(x0;y0) лежит на прямой Ax + By + C = 0 тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению прямой, то есть справедливо равенство Ax0 + By0 + C = 0. Очевидно, что в этом случае d = 0.

21

Задача. Рассмотрим решение задачи, аналогичной задачам 1-10,

если даны точки А(2;1), В(–4;4), С(–1,5).

Решение. Начнем решение задачи с выполнения чертежа (рис. 1). Построим точки А(2;1), В(–4;4), С(–1;5) в прямоугольной системе координат Oxy. Проведем прямую АВ, уравнение которой необходимо найти, а затем через точку С проведем прямую СК параллельно АВ и прямую СD перпендикулярно АВ.

y

B

C 5

4 K

3

D

2

A

1

Рис. 1

1. Длину отрезка АВ находим как расстояние между двумя точками

А(2;1) и В(–4;4):

AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 = (− 4 − 2)2 + (4 −1)2 =

= 36 +9 = 45 = 3 5 ≈ 6,7.

в нашем случае:

22

Запишем пропорцию: 3×(х – 2) = – 6×(у – 1), раскроем скобки и перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, получим окончательный ответ 3х + 6у – 12 = 0 − уравнение прямой АВ.

3. Найдем угловой коэффициент прямой АВ:

k = kCE = −12 , получим у –5=−12 (х+1);

у –5=−0,5х−0,5; 0,5х + у−4,5=0 – уравнение прямой СЕ.

5. Расстояние от точки С до прямой АВ найдём по формуле

d = Ax0 + By0 +C . A2 + B2

Уравнение прямой АВ найдено ранее (см. пункт 2): 3х + 6у – 12 = 0.

2) 3х + 6у – 12 = 0 − уравнение прямой АВ;

23

3)2х – у+7=0 – уравнение прямой СD;

4)0,5х + у−4,5=0 – уравнение прямой СЕ;

5)d = 5 ≈ 2,24 .

Введение в математический анализ

Задачи 11–20

Вычислить пределы функции y=f(x), при указанном поведении аргумента x.

Методические указания к решению задач 11 – 20

Пределы функций, основные теоремы о пределах

1. Предел функции. Предел функции f(х) - это число А, к которому неограниченно приближаются значения функции при указанном

lim g(x) = B . Тогда справедливы следующие утверждения:

x→x0

•lim ( f (x) ± g(x)) = lim f (x) ± lim g(x) = A ± B ;

→x0 x→x0 x→x0

25

3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Бесконечно малой функцией при x → x0 называется функция α(x),

предел которой равен нулю при x → x0 : limα(x) = 0 .

x→x0

Если значения функции f(x) неограниченно возрастают по абсолютной величине при x → x0 , то такую функцию называют беско-

нечно большой при x → x0 . Предел этой функции обозначают зна-

ком бесконечности ∞: lim f (x) = ∞ (±∞).

x→x0

Теоремы о связи бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Утверждения всех вышеприведённых теорем также справедливы, если х → ∞ (+∞ или −∞).

Решение. В задаче следует найти предел частного. С этой целью необходимо вычислить пределы числителя и знаменателя дроби, подставив в них предельное значение аргумента х.

При подстановке x = −4 в числитель и знаменатель дроби убеждаемся, что их значения равны нулю, поэтому теорема о пре-

26

д) lim 3x2 +10x −8 . x→∞ 4x2 +15x −4

Пределы числителя и знаменателя дроби равны ∞. В этом случае говорят, что имеется неопределенность вида «бесконечность на бесконечность». Теорема о пределе частного здесь не применима.

каждый член числителя и знаменателя дроби делят на x в наивысшей степени (в нашем примере на х2), отчего величина дроби не изменится, но исчезнет неопределенность.

(потеореме освязибесконечнобольшойибесконечномалойфункций).

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Задачи 21–30

Найти производные данных функций и их дифференциалы.

28

Методические указания к решению задач 21 – 30

Производная и дифференциал функции одной переменной

1. Понятие производной. Производной для функции у = f(х) в точке х0 называется предел отношения приращения функции у к приращению аргумента х, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю и указанный предел существует:

Производная f’(х0) показывает скорость изменения функции f(х) в точке х0. Геометрически f’(х0) = tgα, где α – угол наклона касательной, проведенной к графику функции f(х) в точке х0. Нахождение производной для функции f(х) называется её дифференцированием.

2. Дифференциал функции.

Дифференциал функции равен произведению производной этой

функции на дифференциал независимой переменной dx = х: dy = f ′(x)dx.

3. Правила дифференцирования. Пусть даны дифференцируемые функции u(x) и v (x), тогда справедливы формулы:

(u −v)′ = u′−v′;

(u v)′ = u′ v +u v′;

Отметим также, что:

а) производная от независимой переменной равна единице: x′ =1; б) производная постоянной величины с равна нулю: c′ = 0;

в) постоянный множитель выносится за знак производной: (cu)′ = c u′.

30