mat

Проверка.

Получена подинтегральная функция, что и требовалось показать.

За новую переменную берем функцию, стоящую в основании степени, так как подынтегральное выражение содержит производную этой функции (с точностью до постоянного множителя).

Проверка.

51

a , b – нижний и верхний пределы интегрирования, показывающие, как меняется переменная интегрирования х.

Формула Ньютона-Лейбница связывает определенный и неопределенный интегралы. Чтобы ею воспользоваться, следует взять

2. Геометрический смысл определенного интеграла.

Если функция y = f (x) неотрицательна на отрезке [a;b], то

y=f(x)

3.Вычисление площадей плоских фигур.

Площадь фигуры, заключенной между кривыми y = f1(x) и y = f2 (x) на отрезке [a;b], вычисляется по формуле

53

b

S = ∫( f2 (x) − f1(x)) dx ,

a

при этом f2 (x) ≥ f1(x) для x [a;b] (рис. 7).

Задача. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 −6x +5 и y = x −1. Сделать чертеж.

Решение. Выполним чертеж. Первое уравнение определяет параболу, а второе – прямую линию. Для построения параболы найдем координаты её вершины и точки пересечения её с осями координат.

Если уравнение параболы y = ax2 +bx +c , то вершина параболы

y0 = 32 −6 3 +5 = −4. Итак, вершина параболы − это точка (3;– 4). Найдем точки пересечения параболы с осями координат.

•С осью Ox: y = 0, тогда x2 −6x +5 = 0 . Решив квадратное уравнение (Приложение 1, пункт 2), получаем x1 =1, x2 = 5 . Точки

пересечения параболы с осью Ox − точки (1;0) и (5;0).

•С осью Oy: x = 0, тогда y = 02 −6 0 +5 = 5. Точка пересечения параболы с осью Oy − точка (0;5).

Строим параболу по найденным точкам, замечая, что ветви параболы направлены вверх, так как a =1 > 0 (рис. 8).

Прямую y = x −1 строим по двум точкам, например,

54

y1 =1−1 = 0; y2 = 6 −1 = 5. Итак, точки пересечения параболы и прямой это точки (1;0) и (6;5) .

y

5

Замечание. Если одна из линий – гипербола, например, xy = –6, то ее можно построить по точкам. Удобно взять точки с абсциссами x = ±1; ± 2; ±3;K и вычислить соответствующие им ординаты y, в

нашем примере по формуле y = −6x .

Теория вероятностей

Задачи 61–70

Партия мужских костюмов состоит из k костюмов производителя «А» и m костюмов производителя «В». Некто наугад выбирает из партии один за другим два костюма. Найти вероятность того, что

а) оба костюма изготовлены производителем «А»; б) выбраны костюмы разных производителей;

в) хотя бы один из них изготовлен производителем «А».

Найти вероятности указанных событий, если костюмы выбираются по схеме выборки: 1) с возвращением; 2) без возвращения.

56

Методические указания к решению задач 61-70

Основные понятия теории вероятностей

Испытание – это изначальное понятие, разъясняется как действие, наблюдение, опыт и прочее.

Событие – это результат испытания.

Пример 1: Некто подбросил монету, которая упала гербом вверх. Здесь испытание – подбрасывание монеты, а результат этого испытания – выпадение герба – это событие.

Пример 2: В результате подбрасывания игрального кубика выпало три очка на верхней грани. В этом случае, испытание – подбрасывание кубика, а выпадение трех очков – событие.

Заметим, что монета в примере 1 могла упасть не гербом, а решкой (цифрой вверх). Аналогично, в примере 2, подбрасывание кубика могло бы закончиться выпадением, например, двух или пяти очков. Событие, которое в результате испытания может произойти, а может и не произойти, называется случайным.

Пусть в результате испытания могут появиться несколько событий. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других.

Пример 3: Рассмотрим такое испытание, как сдача экзамена по математике одним из студентов. События, которые, например, могут произойти в результате этого испытания, есть следующие:

А– экзамен сдан на оценку «4»,

В– экзамен сдан на оценку «3»,

С – экзамен сдан на оценку выше, чем «3».

57

В этом случае, события А и В несовместны, так как получение оценки «3» делает невозможным получение оценки «4» за этот же экзамен. Наоборот, события А и С совместны, поскольку они могут произойти одновременно.

Пространством элементарных исходов (или событий),

соответствующих рассматриваемому испытанию, будем называть такое множество несовместных событий, одно из которых обязательно произойдет в результате испытания, так что любой интересующий нас результат испытания может быть однозначно описан с помощью элементов этого множества.

В примере с игральным кубиком пространство элементарных

исходов образуют 6 событий: E1, E2, E3, E4, E5, E6, которые заключаются в том, что количество выпавших очков составит

соответственно 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Действительно, эти события несовместны, одно из них обязательно произойдет в результате подбрасывания кубика, и с их помощью можно описать любые другие события. Например, событие A – выпало четное число очков – означает, что появились события E2 или E4 или E6, эти три элементарных исхода благоприятствуют наступлению события A.

Классическое определение вероятности

Элементарные исходы называются равновозможными, если ни у одного из них нет преимуществ перед другими, чтобы произойти в результате испытания.

Вероятностью события A называется число P(A), равное отношению числа m благоприятствующих событию A элементарных исходов к общему числу n элементарных

равновозможных исходов:

P( A) = mn

Рассмотрим пример с урновой схемой. Урна – это ёмкость с шарами.

Пример 4: Пусть в урне находится 20 одинаковых шаров, которые отличаются только цветом, например, 12 из них красные,

58

а остальные – белые. Некто подошел к урне и наугад выбрал один шар. Найдем вероятность того, что этот шар – красный.

Пусть событие К – выбран красный шар. Всего элементарных исходов n = 20 (по количеству шаров), причём все эти исходы равновозможные. Событию К благоприятствует m = 12 исходов (по количеству красных шаров), поэтому

P(K) = mn = 1220 = 0,6.

Вероятность любого события может принимать значения только от 0 до 1 включительно, то есть

0 ≤ P( A) ≤1.

Достоверное событие – обязательно произойдет в результате испытания, то есть m = n, так как все исходы благоприятные:

P(A) = mn = nn =1.

Невозможное событие – не может произойти в результате испытания, то есть m = 0, так как благоприятных исходов нет:

P(A) = mn = 0n = 0.

Случайное событие – может произойти или не произойти в результате испытания: 0<P(A)<1.

Вероятность является числовой мерой объективной возможности наступления события. Вероятность можно задать в процентах, например P(A)= 0,8 (80%).

Основные теоремы теории вероятностей

Условной вероятностью РА(В) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило.

Пример 5. В урне имеется 3 белых и 2 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

59

Решение: Изначально в урне было 5 шаров, из которых 3белых и 2 черных. После первого испытания в урне осталось 4 шара, из них 3 белых. Искомая условная вероятность РА ( В )= 3/4.

События А и В называются независимыми, если появление одного из этих событий не изменяет вероятности наступления другого, то есть Р( А )= РВ ( А ) или Р( В )=РА( В ). В противном случае события называются зависимыми.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

P( A или B) = P(A) + P(B)

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

P( A и B) = P(A) P(B)

Теорема умножения вероятностей зависимых событий:

P(A иB) = P(A) PA (B)

Теорема сложения вероятностей совместных событий:

P( A или B) = P(A) + P(B) −P(A и B)

Событие A (не A) называется противоположным событию A, если оно наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие A.

студент не сдал экзамен; с) С – хотя бы один лотерейный билет

выиграл, тогда C – ни один билет не выиграл. Из приведенных примеров видно, что противоположное событие можно сформулировать путем простого логического отрицания.

Вероятность противоположного события находится по формуле

P( A) =1− P( A)

Задача. В партии из 100 одинаковых по внешнему виду изделий смешаны 40 шт. первого сорта и 60 шт. второго сорта. Найти вероятность того, что взятые наугад два изделия окажутся:

а) оба первого сорта;

60