Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский университет потребительской кооперации

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

mat

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.05.2015

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Значения функции в точках x = 0 и x = 4 были найдены ранее: y(0) = 0, y(4) = 0. Таким образом, график функции пересекает ось Оx

вточках(0;0) и(4;0).

9. Дополнительные точки.

Для более точного построения графика можно найти дополнительные точки. Например, найдем значение функции y при x = 5:

y(5)= 12 53 −4 52 +8 5 = 52 = 2,5.

D(5; 2,5) – дополнительная точка для построения графика.

Выпишем результаты исследования функции y = 12 x3 −4x2 +8x . 1. Область определения (−∞;+∞) .

2.	lim y = +∞,			lim y			= −∞.
	x→ + ∞			x→ − ∞
3.	Функция возрастает на промежутках														−∞; 1			1	и (4; +∞),
3.	Функция возрастает на промежутках														−∞; 1			3	и (4; +∞),
									1									3
	убывает на промежутке 1								1	;	4 .
	убывает на промежутке 1								3	;	4 .
									3
4.	Максимум функции в точке А 1											1	;	4	20		,		минимум – в
4.	Максимум функции в точке А 1											3	;	4			,		минимум – в
точке В(4;0).												3			27
точке В(4;0).																2
5.	График выпуклый на интервале												−∞;2			2		и	вогнутый на
5.	График выпуклый на интервале												−∞;2					и	вогнутый на
		2														3
интервале 2		2	;	+∞ .
интервале 2		3	;	+∞ .
		3				2		10
						2		10
6.	Точка перегиба С				2		; 2
6.	Точка перегиба С				2	3	; 2	27
						3		27

7.Точки пересечения с осями координат: (0;0), (4;0).

8.Дополнительная точка D(5; 2,5).

Построим график функции (рис. 5). На плоскости Oxy отметим все характерные точки: точки пересечения с осями координат, точки экстремумов, точку перегиба, а также дополнительную точку.

В силу непрерывности функции соединим все отмеченные точки плавной кривой, продолжив график влево вниз и вправо

вверх согласно поведению функции на концах области определения и учитывая характер монотонности и выпуклости графика функции.

	5		A
	4
	3
	2			C			D
	2
	1
–1	0	1	2	3	4	5	x
			Рис. 5

Интегральное исчисление

Задачи 41– 50

Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

41. а) ∫

x2 +5x −1

dx;

∫

2x −5

б)

cos

dx;

в) ∫x2 4 −5x3 dx;

43. а) ∫

2 +3x3 + x

dx;

б) ∫cos(2x −1)dx;

в) ∫

dx;

55. а)

∫

x5 − x3 x +1

dx;

б)

∫

2x −3

dx;

в)

x4 +2

dx;

∫x e

47. а) ∫

x5 −

x +1

dx;

б) ∫(2x +5)6 dx;

в) ∫x cos(x2 −1)dx;

42. а)	∫	x2 +	2x +1	dx;
		3
			x
б)	∫ 4 −3x dx;

etg x

в) ∫cos2 x dx;

44.а) ∫x −23 x2 +1 dx; x

б) ∫e3−2xdx;

в) ∫(3 −x22x3)2 dx;

56.а) ∫3 x2 − x2 −3 dx; x

б) ∫

dx;

+ 2x)

в)

∫

dx;

−1)ln

(x −1)

48.а) ∫

−9

3 x −5

dx;

б) ∫cos(2 −3x) dx;

в)

∫

3 tgx

dx;

cos

9. а) ∫

dx;

50. а) ∫

+33 x + 4

dx;

1−3x

б) ∫e

−0,5x+1

dx;

б)

∫

sin

dx;

2 3x

+ln x

в) ∫

x −e

dx;

в) ∫

dx;

x3 −e3x

Методические указания к решению задач 41 – 50

Неопределенный интеграл, методы интегрирования

1. Понятия первообразной и неопределенного интеграла.

Функция F(x) называется первообразной для функции f (x) , если F′(x) = f (x).

Множество всех первообразных функции f (x) задается

формулой F(x)+C, где С – произвольное число, и называется неоп-

ределенным интегралом от функции f (x) :

∫f (x)dx = F(x) +C .

2.Свойства неопределенного интеграла:

∫( f (x) ±g(x))dx = ∫ f (x)dx ±∫g(x)dx ; ∫k f (x) dx = k ∫ f (x) dx ,

где k – постоянная, отличная от нуля.

3. Таблица интегралов.

1. ∫dx

= x +C;

∫

dx = ln

+C;

3. ∫xα dx =

xα+1

+C, α ≠ −1;

5. ∫axdx =

α +1

∫exdx = ex +C;

+C;

ln a

∫sin x

dx = −cos x +C;

∫cos x

dx = sin x +C;

∫

dx = −ctg x +C;

∫

dx = tg x +C;

sin

cos

10.

∫

dx = arcsin x +C;

11.

∫

dx = arcsin

+C;

1− x

− x

12.

∫

dx = arctg x +C;

13.

∫

dx =

arctg

+C;

+ x

14.

∫

dx =

x −a

+C.

x + a

−a

15.

∫

dx = ln

x +

± a2

+C;

x2 ± a2

Примечание. Формулы верны, когда переменная х является независимой переменной, а также когда х является функцией другой переменной: х = х(t).

4. Основные методы интегрирования.

Идея всех методов интегрирования заключается в приведении искомого интеграла к табличному интегралу или сумме табличных интегралов.

1) Непосредственное интегрирование.

Интеграл приводится к табличному виду путем алгебраических или тригонометрических преобразований.

2) Замена переменной (интегрирование подстановкой).

Сведение интеграла к табличному виду осуществляется с помощью подстановки t = ϕ(x). Тогда дифференциал dt равен

dt =ϕ′(x)dx .

Рекомендации по введению новой переменной даны ниже в примерах.

5. Связь между интегрированием и дифференцированием.

Интегрирование – это операция, обратная дифференцированию. Если интеграл взят правильно, то производная от интеграла равна подынтегральной функции:

(∫ f (x)dx)′ = (F(x) +C )′ = f (x) .

Задача. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

Решение. В контрольной работе интеграл под буквой а берется методом непосредственного интегрирования. При этом используются табличные интегралы от степенных функций:

∫xαdx =	xα+1	+C, α ≠ −1;	∫	dx	= ln	x	+C.

	α +1			x

Используются также правила действий со степенями.

3 3 x −2 +6x4

а) ∫

3x3

6x4

dx =

∫

−

1−

−4

4−

−

3 −

− 2x

3 +6x3

= ∫ 3x3

3 +6x

3 dx = ∫

−1

dx =

= ∫

dx − ∫2x−

3 dx + ∫6x3dx = 3∫

−2∫x−3 dx +6∫x3dx =

−4

8+1

−

= 3ln

−

+C = 3ln

−2

x 3

+C =

−

8 +1

−1

x2 +C.

3 +C =

= 3ln

3ln

3 x

Проверка.

′

−

′

11 ′

3 x2

= (

)′ +

x 3

+C′ =

3ln

3 x

1 −

1−1

11−1

−

+6x3 =

3 3 x −2 +6x4

3x3 −2 +6x3 x3

3 x4

Получена подинтегральная функция, что и требовалось показать.

Интеграл б в контрольной работе берется методом замены переменной (подстановкой). Приведем ряд примеров.

б.1)	∫		1−2x
		sin		dx.
			3

За новую переменную возьмем аргумент подинтегральной

функции

t =

1−2x

и найдем dt

по формуле:

′

1−2x ′

′

dt = t (x)dx =

dx =

−

x dx =

0 −

1 dx = −

dx.

Тогда

1−2x

1−

sin

dx =

dt = −

sin t

−

= −

sin t dt =

∫

2 ∫

dx = −

1−2x

= −

(−cost )+C =

cost +C =

+C.

cos

В последнем действии осуществлен переход к исходной пере-

менной x с учетом, что t =													1−2x			.
менной x с учетом, что t =																.
Проверка.														3
Проверка.
	3				1−2x				′	3					1−2x				′
	3	cos			1−2x		+C	=		3	cos				1−2x					+C′ =
	2	cos					+C	=			cos									+C′ =
	2			3						2			3
			3			1−2x		1−2x ′									3				1−2x		2		1−2x
= −				sin								+0			= −			sin				−		= sin		.
= −			2	sin		3		3				+0			= −		2	sin			3	−	3	= sin	3	.
			2			3		3									2				3		3		3

Что и требовалось показать.

1−1 x

б.2) ∫e 3 dx .

За новую переменную возьмем показатель степени

t =1−

Тогда

t =1−

∫e1−3 xdx =

dt = −

= ∫et (−3dt )= −3∫et dt = −3et +C = −3e1−

3 x +C.

dx = −3dt

Проверка.

1−

′

1−

′

1−

′

−3e

= −3 e

+C′ = −3e

1−

+0 =

1−1 x

1−

1 x

= −3e

−

= e

3 .

Получена подинтегральная функция, что и требовалось показать.

б.3) ∫		1		dx.
	(4	−3x)	7

За новую переменную возьмем функцию, стоящую в основании степени t = 4 −3x. Тогда

∫			1					dx =		t = 4 −3x																		1						1					1		t−7+1		+C =
			1																									1						1					1		t−7+1
										dt = −3dx									=				t−7			−			dt				= −		t−7dt			= −
						7
	(4		−3x)			7																∫						3						3 ∫					3		−7	+1
	(4		−3x)							dx = −				1		dt						∫						3						3 ∫					3		−7	+1
										dx = −						dt
														3													1						1
= −				1				t−6	+C =					1				1			+C =						1						1		+C.
= −			3 (−6)					t−6	+C =				18					t6			+C =					18				(4 −3x)6					+C.
			3 (−6)										18					t6								18				(4 −3x)6
Проверка.
			1					1	6			′					1			(												′
									6											(				−3x)−6							)		+C′ =
		18			(4		−3x)				+C				=		18					(4		−3x)−6									+C′ =
		18			(4		−3x)										18
			1									−6−1											′								1					−7					1
	=				(−6)(4 −3x)										(4 −3x)										+0 = −								(4 −3x)				(−3) =							.
	=		18		(−6)(4 −3x)										(4 −3x)										+0 = −						3		(4 −3x)				(−3) =			(4 −3x)7				.

Получена подинтегральная функция.

Интеграл под буквой в в контрольной работе также берется методом замены переменной (подстановкой). Ознакомимся с примерами таких подстановок.

в.1) ∫xsin(2 −3x2 )dx .

За новую переменную удобно взять аргумент тригонометриической функции, если к тому же под интегралом присутствует производная этого аргумента в качестве множителя.

xsin(2 −3x2 )dx =

t = 2 −3x2

dt = −6xdx

sin t

−

= −

sin tdt =

∫

6 ∫

xdx = −

cost +C =

cos(2 −3x2 ) +C.

Проверка.

′

(−sin(2

−3x2 ))(−6x) +0 = xsin(2 −3x2 ).

cos(2 −3x2 ) +C =

в.2) ∫	e x	dx .
	x

Здесь за новую переменную удобно принять показатель степени, учитывая, что под знаком интеграла присутствует производная этого показателя (с точностью до постоянного множителя).

e x

t =

∫

dx =

dt =

= ∫et (2dt )= 2∫et dt = 2et +C = 2e x +C.

= 2dt

Проверка.

(2e x +C )′ = 2e

x (

x )′ +C′ = 2e

e x

в.3) ∫sin 3x 6 3 −4cos3x dx .

За новую переменную удобно взять подкоренное выражение, так как под интегралом присутствует также его производная (с точностью до постоянного множителя).

												t = 3 −4cos3x										1
∫sin 3x 6 3 −4cos3x dx =												dt = −4(−sin 3x) 3dx								= ∫6 t		1	dt =
∫sin 3x 6 3 −4cos3x dx =												dt = −4(−sin 3x) 3dx								= ∫6 t	12		dt =
																1					12
												sin 3x dx =				1	dt
												sin 3x dx =					dt
															12
		1	1			1	t	7		6				1	6 (3 −4cos3x)			7
=		1	∫t 6	dt =		1	t			6	+C =			1				7	+C.
=	12		∫t 6	dt =	12		7		6		+C =		14						+C.
	12				12		7						14

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.20251 Мб7kursovaya_raschet_i_vypiska_gostey.docx
#
25.03.2016372 Кб21Kursovaya_Upravlencheskiy_analiz_v_otraslyakh.pdf
#
01.05.2025262 Кб7Kushnerovsky_kursach.doc
#
01.07.2025126 Кб4Lab1.doc
#
27.05.20151 Мб79log.pdf
#
27.05.20151 Мб42mat.pdf
#
27.05.20151 Мб21matan.pdf
#
27.05.2015928 Кб67metmodprog.pdf
#
25.03.2016174 Кб30MEZhDISTsIPLINARNYJ_EKZAMEN_080200_62.doc
#
01.07.20252 Мб5micich_p_kak_provodit_delovye_besedy.doc
#
27.05.2015454 Кб27mikr.pdf